Questão 2

Um campo escalar é dado por phi(x, y, z)=x^2 y+y z^2+x z.
(a) Calcule o gradiente nabla phi.
(b) Determine o valor do gradiente no ponto (2,-1,3).
© Qual é a direção de máxima variação de phi no ponto (2,-1,3) ?

Passo 1

Beleza, a gente tem um campo escalar
.
O que o exercício pede:
(a) calcular o gradiente ,
(b) achar esse gradiente no ponto ,
© descobrir a direção de máxima variação ali.
Matéria envolvida: cálculo de várias variáveis, mais especificamente derivadas parciais e definição de gradiente. A gente vai precisar lembrar do conceito de derivada parcial (como derivar em relação a , e mantendo as outras variáveis fixas) e depois montar o vetor gradiente.

Passo 2

Definição de gradiente:
[
\nabla\phi(x,y,z)

\Bigl(\frac{\partial \phi}{\partial x},,\frac{\partial \phi}{\partial y},,\frac{\partial \phi}{\partial z}\Bigr).
]
Agora derivadas parciais uma a uma:
  1. nablaphi(x,y,z) = l(partial phipartial x,,partial phipartial y,,partial phipartial zr) :
    • Para partial phipartial x = 2xy + z : trata partial phipartial y = x^2 + z^2 como constante → power rule → partial phipartial z = 2yz + x .
    • Para nablaphi(x,y,z) = l(2xy + z,;x^2 + z^2,;2yz + xr) : não depende de → 0.
    • Para : trata como constante → .
      Logo
  2. :
    • : é constante → .
    • : é constante → .
    • : não depende de → 0.
      Logo
  3. :
    • : não depende de → 0.
    • : é constante, power rule → .
    • : é constante → .
      Logo
Então, de maneira geral,

Passo 3

Agora a gente avalia esse vetor no ponto nablaphi(2,-1,3) = (-1,;13,;-4) .
  1. Componente :
  2. Componente :
  3. Componente :
Então

Passo 4

A direção de máxima variação de um campo escalar num ponto é justamente a direção do vetor gradiente naquele ponto. Se você quiser a direção como vetor unitário, basta dividir pelo comprimento:
Comprimento de |nablaphi| = raiz(-1)^2 + 13^2 + (-4)^2 = raiz1 + 169 + 16 = raiz186 :
1raiz186,(-1,;13,;-4)
Logo o versor (vetor unitário) da direção de máxima variação é

Resposta

(a) (-1,;13,;-4)raiz186 .
(b) .
© Direção de máxima variação (unitária):

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