Questão 2
Um campo escalar é dado por
.
(a) Calcule o gradiente
.
(b) Determine o valor do gradiente no ponto
.
© Qual é a direção de máxima variação de
no ponto
?
(a) Calcule o gradiente
(b) Determine o valor do gradiente no ponto
© Qual é a direção de máxima variação de
Passo 1
Beleza, a gente tem um campo escalar
.
O que o exercício pede:
(a) calcular o gradiente ,
(b) achar esse gradiente no ponto ,
© descobrir a direção de máxima variação ali.
Matéria envolvida: cálculo de várias variáveis, mais especificamente derivadas parciais e definição de gradiente. A gente vai precisar lembrar do conceito de derivada parcial (como derivar em relação a ,
e
mantendo as outras variáveis fixas) e depois montar o vetor gradiente.
O que o exercício pede:
(a) calcular o gradiente
(b) achar esse gradiente no ponto
© descobrir a direção de máxima variação ali.
Matéria envolvida: cálculo de várias variáveis, mais especificamente derivadas parciais e definição de gradiente. A gente vai precisar lembrar do conceito de derivada parcial (como derivar em relação a
Passo 2
Definição de gradiente:
[
\nabla\phi(x,y,z)
\Bigl(\frac{\partial \phi}{\partial x},,\frac{\partial \phi}{\partial y},,\frac{\partial \phi}{\partial z}\Bigr).
]
]
Agora derivadas parciais uma a uma:
-
: - Para
: trata como constante → power rule → . - Para
: não depende de → 0. - Para
: trata como constante → .
Logo
- Para
-
: -
: é constante → . -
: é constante → . -
: não depende de → 0.
Logo
-
-
: -
: não depende de → 0. -
: é constante, power rule → . -
: é constante → .
Logo
-
Então, de maneira geral,
Passo 3
Agora a gente avalia esse vetor no ponto
.
-
Componente
:
-
Componente
:
-
Componente
:
Então
Passo 4
A direção de máxima variação de um campo escalar num ponto é justamente a direção do vetor gradiente naquele ponto. Se você quiser a direção como vetor unitário, basta dividir pelo comprimento:
Comprimento de
:
Logo o versor (vetor unitário) da direção de máxima variação é
Resposta
(a)
.
(b) .
© Direção de máxima variação (unitária):
(b)
© Direção de máxima variação (unitária):