Questão
: Considere o campo vetorial
seny
. Prove que é conservativo e determine uma função potencial.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas: provar que
é conservativo e determinar uma função potencial para
.\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
O objetivo é (a) mostrar que existe uma função escalar
tal que
e (b) encontrar explicitamente essa
(até constante).
Passo 2
O que significa ser conservativo e qual é o teste prático que vamos usar?\n
Definição e ideia prática (explicação didática):
Definição e ideia prática (explicação didática):
- Dizemos que um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar — chamada potencial — tal que
Ou seja,
e
.\n
- Um teste prático muito usado em
: se as derivadas parciais mistas existem e são contínuas e se o domínio do campo é simplesmente conexo (sem “buracos”), então uma condição necessária e suficiente é
Aqui
significa
e
significa
.\n
Breve comentário sobre por que isso funciona: se e
, então derivando
em relação a
e
em relação a
obtemos
, daí
. O teorema da recíproca afirma que, em domínios simplesmente conexos, essa igualdade garante a existência de
.
Breve comentário sobre por que isso funciona: se
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais necessárias e comparemos:\n
Calcule :
Calcule
Calcule
:
Observamos que
Passo 4
Concluímos que a condição
vale para todo
.\n
Além disso, o domínio natural do campo é , que é simplesmente conexo (não tem buracos). Pelo argumento do passo anterior, isso implica que
é conservativo em
. Vamos agora achar explicitamente a função potencial.
Além disso, o domínio natural do campo é
Passo 5
Método para encontrar a função potencial (passo a passo didático):
- Se
, integramos em relação a , tratando como constante. Isso dá mais uma “constante” de integração que pode depender de . - Depois diferenciamos o resultado em relação a
e igualamos a para determinar essa função dependente de .\n
Aplicando esse método:
Integramosem :
onde
é uma função a determinar (análogo à “constante” de integração, mas pode depender de
).\n
Agora computamos e igualamos a
:
Agora computamos
Igualando a
obtemos
Integramos
em
:
onde
é constante real.\n
Portanto uma função potencial é
Portanto uma função potencial é
Passo 6
Verificação final (sempre faça isso na prova para se garantir):\n
Calcule e
de
:
Calcule
Como as derivadas coincidem com os componentes de
, a
encontrada é realmente uma potencial de
. Parabéns — tudo confere!\n
Dica final e motivação: quando cair uma questão dessas na prova, faça exatamente esses passos: identifique , calcule
e
, verifique igualdade e depois integre
em
(ou
em
) para achar
. Respire fundo e faça devagar — funciona sempre.
Dica final e motivação: quando cair uma questão dessas na prova, faça exatamente esses passos: identifique
Resposta
Uma função potencial é