Questão 5(2,0) : Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y)=\left(e^{-y}-2 x,-x e^{-y}-\right. seny ). Prove que é conservativo e determine uma função potencial.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}(x,y)=\big(e^{-y}-2x,\,-x e^{-y}-\sin y\big) e pede duas coisas: provar que \vec{F} é conservativo e determinar uma função potencial para \vec{F}.\n
Informações relevantes dadas:
P(x,y)=e^{-y}-2x,\qquad Q(x,y)=-x e^{-y}-\sin y.
O objetivo é (a) mostrar que existe uma função escalar \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F} e (b) encontrar explicitamente essa \varphi (até constante).

Passo 2

O que significa ser conservativo e qual é o teste prático que vamos usar?\n
Definição e ideia prática (explicação didática):
  • Dizemos que um campo vetorial \vec{F}=(P,Q) é conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y) — chamada potencial — tal que
\nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y)= (P,Q).
Ou seja, \phi_x=P e \phi_y=Q.\n
  • Um teste prático muito usado em \mathbb{R}^2: se as derivadas parciais mistas existem e são contínuas e se o domínio do campo é simplesmente conexo (sem “buracos”), então uma condição necessária e suficiente é
P_y=Q_x.
Aqui P_y significa \dfrac{\partial P}{\partial y} e Q_x significa \dfrac{\partial Q}{\partial x}.\n
Breve comentário sobre por que isso funciona: se \phi_x=P e \phi_y=Q, então derivando \phi_x em relação a y e \phi_y em relação a x obtemos \phi_{xy}=\phi_{yx}, daí P_y=Q_x. O teorema da recíproca afirma que, em domínios simplesmente conexos, essa igualdade garante a existência de \varphi.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais necessárias e comparemos:\n
Calcule \dfrac{\partial P}{\partial y}:
P(x,y)=e^{-y}-2x \quad\Rightarrow\quad P_y=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(e^{-y}-2x\big) = -e^{-y}.
Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x}:
Q(x,y)=-x e^{-y}-\sin y \quad\Rightarrow\quad Q_x=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(-x e^{-y}-\sin y\big) = -e^{-y}.
Observamos que
P_y = -e^{-y} = Q_x.

Passo 4

Concluímos que a condição P_y=Q_x vale para todo (x,y).\n
Além disso, o domínio natural do campo é \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo (não tem buracos). Pelo argumento do passo anterior, isso implica que \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^2. Vamos agora achar explicitamente a função potencial.

Passo 5

Método para encontrar a função potencial (passo a passo didático):
  • Se \phi_x=P, integramos P em relação a x, tratando y como constante. Isso dá \varphi(x,y) mais uma “constante” de integração que pode depender de y.
  • Depois diferenciamos o resultado em relação a y e igualamos a Q para determinar essa função dependente de y.\n
    Aplicando esse método:
    Integramos P em x:
\varphi(x,y)=\int (e^{-y}-2x)\,dx = x e^{-y} - x^2 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar (análogo à “constante” de integração, mas pode depender de y).\n
Agora computamos \phi_y e igualamos a Q:
\phi_y = \dfrac{\partial}{\partial y}\big(x e^{-y} - x^2 + h(y)\big) = -x e^{-y} + h'(y).
Igualando a Q(x,y)=-x e^{-y}-\sin y obtemos
-x e^{-y} + h'(y) = -x e^{-y} - \sin y \quad\Rightarrow\quad h'(y) = -\sin y.
Integramos h'(y) em y:
h(y)=\int -\sin y\,dy = \cos y + C,
onde C é constante real.\n
Portanto uma função potencial é
\varphi(x,y)=x e^{-y} - x^2 + \cos y + C.

Passo 6

Verificação final (sempre faça isso na prova para se garantir):\n
Calcule \phi_x e \phi_y de \varphi(x,y)=x e^{-y} - x^2 + \cos y + C:
\phi_x = e^{-y} - 2x = P(x,y),
\phi_y = -x e^{-y} - \sin y = Q(x,y).
Como as derivadas coincidem com os componentes de \vec{F}, a \varphi encontrada é realmente uma potencial de \vec{F}. Parabéns — tudo confere!\n
Dica final e motivação: quando cair uma questão dessas na prova, faça exatamente esses passos: identifique P,Q, calcule P_y e Q_x, verifique igualdade e depois integre P em x (ou Q em y) para achar \varphi. Respire fundo e faça devagar — funciona sempre.

Resposta

\vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^2.\n
Uma função potencial é \varphi(x,y)=x e^{-y} - x^2 + \cos y + C (com C\in\mathbb{R}).

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