Questão 2(2,0) :Seja \vec{r}(t)=( cost, sent, 2 ) o vetor posição de uma partícula se movendo no instante t. Determine o vetor velocidade \vec{v}(t) e o vetor aceleração \vec{a}(t). Além disso, determine dois vetores tangentes e unitários a trajetoria da partícula em t=\frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição da partícula
\vec{r}(t) = (\cos t,\\ \sin t,\\\ 2).
Pede três coisas:
  1. Determinar o vetor velocidade \vec{v}(t).
  2. Determinar o vetor aceleração \vec{a}(t).
  3. Determinar dois vetores tangentes e unitários à trajetória no instante t=\dfrac{\pi}{2}.
As informações relevantes que temos são exatamente as componentes de \vec{r}(t): a componente x=\cos t, a componente y=\sin t e a componente z=2 (constante).

Passo 2

Entendendo o que é velocidade de uma partícula descrita por um vetor posição: a velocidade \vec{v}(t) é a derivada temporal do vetor posição, ou seja, derivamos cada componente de \vec{r}(t) em relação a t. Isso vem da definição básica de derivada para funções vetoriais — derivamos componente a componente.
Regra prática: se \vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) então
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=(x'(t),y'(t),z'(t)).
Aplicando ao nosso caso: derivadas elementares que precisamos usar são \dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t, \dfrac{d}{dt}\sin t = \cos t e \dfrac{d}{dt} (2)=0. Portanto
\vec{v}(t)=(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 0).

Passo 3

Agora a aceleração \vec{a}(t) é a derivada da velocidade em relação a t. Ou seja,
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}.
Derivamos componente a componente de \vec{v}(t)=(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 0). Usamos \dfrac{d}{dt}(-\sin t)=-\cos t, \dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t, \dfrac{d}{dt}(0)=0. Assim
\vec{a}(t)=(-\cos t,\\\ -\sin t,\\\ 0).

Passo 4

Precisamos dos vetores tangentes e unitários à trajetória em t=\dfrac{\pi}{2}. Primeiro calculamos a velocidade naquele instante porque a direção tangente é a direção do vetor velocidade.
Calculemos \vec{v}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right). Substituindo em \vec{v}(t)=(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 0):
\vec{v}\!\Big(\dfrac{\pi}{2}\Big)=\big(-\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big),\\ \cos\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big),\\\ 0\big)=(-1,\\\ 0,\\\ 0).

Passo 5

Agora vamos construir vetores unitários tangentes. Um vetor unitário na direção de um vetor \vec{u} é dado por \dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}, onde \|\vec{u}\| é a norma (comprimento) de \vec{u}. A norma é calculada por
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}.
No nosso caso, \vec{v}\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=(-1,0,0) tem norma
\big\|\vec{v}\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)\big\|=\sqrt{(-1)^2+0^2+0^2}=1.
Como a norma já é 1, o vetor (-1,0,0) já é um vetor unitário e é tangente à trajetória naquele instante. A reta tangente tem duas direções opostas; portanto o outro vetor unitário tangente é o oposto (1,0,0). Assim obtemos os dois vetores unitários tangentes:
(-1,0,0)\quad\text{e}\quad(1,0,0).

Resposta

\vec{v}(t)=(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 0)
\vec{a}(t)=(-\cos t,\\\ -\sin t,\\\ 0)
\text{Vetores unitários tangentes em } t=\dfrac{\pi}{2}:\\ (-1,0,0)\\ \text{e}\\ (1,0,0)á

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