Questão 2(2,0) :Seja \vec{r}(t)=( cost, sent, 2) o vetor posição de uma partícula se movendo no instante t. Determine o vetor velocidade \vec{v}(t) e o vetor aceleração \vec{a}(t). Além disso, determine dois vetores tangentes e unitários a trajetoria da partícula em t=\frac{\pi}{2}.
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição da partícula
\vec{r}(t) = (\cos t,\\ \sin t,\\\ 2).
Pede três coisas:
Determinar o vetor velocidade \vec{v}(t).
Determinar o vetor aceleração \vec{a}(t).
Determinar dois vetores tangentes e unitários à trajetória no instante t=\dfrac{\pi}{2}.
As informações relevantes que temos são exatamente as componentes de \vec{r}(t): a componente x=\cos t, a componente y=\sin t e a componente z=2 (constante).
Passo 2
Entendendo o que é velocidade de uma partícula descrita por um vetor posição: a velocidade \vec{v}(t) é a derivada temporal do vetor posição, ou seja, derivamos cada componente de \vec{r}(t) em relação a t. Isso vem da definição básica de derivada para funções vetoriais — derivamos componente a componente.
Regra prática: se \vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) então
Aplicando ao nosso caso: derivadas elementares que precisamos usar são \dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t, \dfrac{d}{dt}\sin t = \cos t e \dfrac{d}{dt} (2)=0. Portanto
\vec{v}(t)=(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 0).
Passo 3
Agora a aceleração \vec{a}(t) é a derivada da velocidade em relação a t. Ou seja,
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}.
Derivamos componente a componente de \vec{v}(t)=(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 0). Usamos \dfrac{d}{dt}(-\sin t)=-\cos t, \dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t, \dfrac{d}{dt}(0)=0. Assim
\vec{a}(t)=(-\cos t,\\\ -\sin t,\\\ 0).
Passo 4
Precisamos dos vetores tangentes e unitários à trajetória em t=\dfrac{\pi}{2}. Primeiro calculamos a velocidade naquele instante porque a direção tangente é a direção do vetor velocidade.
Calculemos \vec{v}\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right). Substituindo em \vec{v}(t)=(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 0):
Agora vamos construir vetores unitários tangentes. Um vetor unitário na direção de um vetor \vec{u} é dado por \dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}, onde \|\vec{u}\| é a norma (comprimento) de \vec{u}. A norma é calculada por
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}.
No nosso caso, \vec{v}\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=(-1,0,0) tem norma
Como a norma já é 1, o vetor (-1,0,0) já é um vetor unitário e é tangente à trajetória naquele instante. A reta tangente tem duas direções opostas; portanto o outro vetor unitário tangente é o oposto (1,0,0). Assim obtemos os dois vetores unitários tangentes: