O que precisamos achar: o comprimento da curva (a medida do “comprimento do fio” ao seguir a hélice) para t variando de 0 a 4\pi.
Passo 2
Apresento a fórmula que vamos usar: se uma curva no espaço é dada por uma parametrização \vec{r}(t) diferenciável em [a,b], então o comprimento L da curva no intervalo [a,b] é
L=\int_a^b \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt.
Explicando essa fórmula de forma simples: imagine dividir o intervalo [a,b] em muitos pedaços pequenos. Em cada pedaço a curva é quase uma reta, cujo comprimento é aproximadamente o comprimento do vetor diferença, que ao passar para o limite dá a integral da norma da derivada. Aqui:
\vec{r}\,'(t) é a derivada vetorial da parametrização (velocidade vetorial),
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\| é a norma (módulo) dessa velocidade, que é a velocidade escalar — a taxa de variação do comprimento ao longo do parâmetro t.
Então nosso objetivo será calcular \vec{r}\,'(t), encontrar sua norma e integrar essa norma de t=0 até t=4\pi.
Passo 3
Calculemos a derivada vetorial \vec{r}\,'(t) componente a componente. Derivamos cada função escalar em relação a t:
Interpretando: cada volta da hélice (de t aumentando de 0 a 2\pi) tem comprimento 2\pi\sqrt{17}, e como aqui temos 0\le t\le 4\pi são duas voltas, totalizando 4\pi\sqrt{17}.