Questão 3(2,0): Determine o comprimento da parte da hélice parametrizada:
\vec{r}(t)=(\operatorname{cost}, \operatorname{sen} t, 4 t), 0 \leq t \leq 4 \pi

Passo 1

O enunciado nos dá a curva (hélice) parametrizada pela função vetor
\vec{r}(t)=\big(\cos t,\;\sin t,\;4t\big),
no intervalo de parâmetros \,0\le t\le 4\pi. A pergunta é: determine o comprimento da parte da hélice correspondente a esse intervalo de t.
Informações relevantes dadas:
\vec{r}(t)=\big(\cos t,\;\sin t,\;4t\big),\qquad 0\le t\le 4\pi.
O que precisamos achar: o comprimento da curva (a medida do “comprimento do fio” ao seguir a hélice) para t variando de 0 a 4\pi.

Passo 2

Apresento a fórmula que vamos usar: se uma curva no espaço é dada por uma parametrização \vec{r}(t) diferenciável em [a,b], então o comprimento L da curva no intervalo [a,b] é
L=\int_a^b \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt.
Explicando essa fórmula de forma simples: imagine dividir o intervalo [a,b] em muitos pedaços pequenos. Em cada pedaço a curva é quase uma reta, cujo comprimento é aproximadamente o comprimento do vetor diferença, que ao passar para o limite dá a integral da norma da derivada. Aqui:
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada vetorial da parametrização (velocidade vetorial),
  • \big\|\vec{r}\,'(t)\big\| é a norma (módulo) dessa velocidade, que é a velocidade escalar — a taxa de variação do comprimento ao longo do parâmetro t.
Então nosso objetivo será calcular \vec{r}\,'(t), encontrar sua norma e integrar essa norma de t=0 até t=4\pi.

Passo 3

Calculemos a derivada vetorial \vec{r}\,'(t) componente a componente. Derivamos cada função escalar em relação a t:
\frac{d}{dt}\big(\cos t\big)=-\sin t,\qquad \frac{d}{dt}\big(\sin t\big)=\cos t,\qquad \frac{d}{dt}\big(4t\big)=4.
Portanto
\vec{r}\,'(t)=\big(-\sin t,\;\cos t,\;4\big).
(Isto é a velocidade vetorial da hélice — aponta tangente à curva.)

Passo 4

Agora precisamos da norma (módulo) de \vec{r}\,'(t):
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\| = \sqrt{\big(-\sin t\big)^{2}+\big(\cos t\big)^{2}+4^{2}} = \sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+16}.
Usamos a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}t+\cos^{2}t=1. Substituindo:
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|= \sqrt{1+16}=\sqrt{17}.
Observação importante: a norma é constante, independente de t. Isso simplifica muito a integral de comprimento.

Passo 5

Aplicando a fórmula do comprimento com a=0 e b=4\pi:
L=\int_{0}^{4\pi} \big\|\vec{r}\,'(t)\big\|\,dt = \int_{0}^{4\pi} \sqrt{17}\,dt.
Como \sqrt{17} é constante, podemos tirá-la da integral:
L=\sqrt{17}\int_{0}^{4\pi} dt=\sqrt{17}\,[t]_{0}^{4\pi}.

Passo 6

Calcule o valor:
[t]_{0}^{4\pi}=4\pi-0=4\pi,
portanto
L=\sqrt{17}\cdot 4\pi=4\pi\sqrt{17}.
Interpretando: cada volta da hélice (de t aumentando de 0 a 2\pi) tem comprimento 2\pi\sqrt{17}, e como aqui temos 0\le t\le 4\pi são duas voltas, totalizando 4\pi\sqrt{17}.

Resposta

4\pi\sqrt{17}

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