Questão 3 Considere o campo vetorial \vec{F}: \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definido por
\vec{F}(x, y)=\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)
(vulgo Danielson)
(a) Calcule o rotacional de \vec{F}.
(b) Calcule a integral de linha de \vec{F} ao longo de um círculo centrado na origem e de raio r>0.
(c) Faça o item (b) para o caso em que \gamma é um círculo qualquer que NÃO engloba a origem.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec F(x,y)=\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr) =\Bigl(\tfrac{-y}{x^2+y^2},\,\tfrac{x}{x^2+y^2}\Bigr)
definido em \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}. Precisamos:
– (a) calcular o rotacional (em 2D, \nabla\times\vec F=\partial_xQ-\partial_yP);
– (b) avaliar \displaystyle\oint_\gamma\vec F\cdot d\vec r em \gamma círculo centrado na origem de raio r>0;
– (c) repetir (b) para \gamma um círculo qualquer que não engloba a origem.

Passo 2

Calcular \nabla\times\vec F=\partial_xQ-\partial_yP.
\partial_xQ =\partial_x\Bigl(\tfrac{x}{x^2+y^2}\Bigr) =\frac{(x^2+y^2)\cdot1 - x\cdot2x}{(x^2+y^2)^2} =\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2},
\partial_yP =\partial_y\Bigl(\tfrac{-y}{x^2+y^2}\Bigr) =\frac{-(x^2+y^2)\cdot1 + y\cdot2y}{(x^2+y^2)^2} =\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}.
Logo
\nabla\times\vec F =\partial_xQ-\partial_yP =0.

Passo 3

Se \gamma é o círculo de raio r centrado na origem, parametrize
\gamma(t)=(r\cos t,r\sin t), t\in[0,2\pi]. Então
\gamma'(t)=(-r\sin t,\;r\cos t), \quad \vec F(\gamma(t)) =\Bigl(\tfrac{-r\sin t}{r^2},\,\tfrac{r\cos t}{r^2}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{\sin t}{r},\,\tfrac{\cos t}{r}\Bigr).
O produto escalar é
\vec F(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) =\Bigl(-\tfrac{\sin t}{r}\Bigr)\cdot(-r\sin t) +\Bigl(\tfrac{\cos t}{r}\Bigr)\cdot(r\cos t) = \sin^2t + \cos^2t =1.
Portanto
\oint_\gamma\vec F\cdot d\vec r =\int_0^{2\pi}1\,dt =2\pi.

Passo 4

Se \gamma é um círculo que NÃO engloba a origem, então o interior de \gamma está em região onde \nabla\times\vec F=0. Pelo Teorema de Green (ou independência de caminho),
\oint_\gamma\vec F\cdot d\vec r=0.

Resposta

(a) \nabla\times\vec F=0.
(b) \displaystyle\oint_\gamma\vec F\cdot d\vec r=2\pi se \gamma envolve a origem.
(c) \displaystyle\oint_\gamma\vec F\cdot d\vec r=0 se \gamma não envolve a origem.

Exercícios relacionados