Questão 3 Considere o campo vetorial
definido por
(vulgo Danielson)
(a) Calcule o rotacional de
.
(b) Calcule a integral de linha de
ao longo de um círculo centrado na origem e de raio
.
(c) Faça o item (b) para o caso em que
é um círculo qualquer que NÃO engloba a origem.
(a) Calcule o rotacional de
(b) Calcule a integral de linha de
(c) Faça o item (b) para o caso em que
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
definido em
. Precisamos:
– (a) calcular o rotacional (em 2D, );
– (b) avaliar em
círculo centrado na origem de raio
;
– (c) repetir (b) para um círculo qualquer que não engloba a origem.
– (a) calcular o rotacional (em 2D,
– (b) avaliar
– (c) repetir (b) para
Passo 2
Calcular
.
Logo
Passo 3
Se
é o círculo de raio
centrado na origem, parametrize
,
. Então
O produto escalar é
Portanto
Passo 4
Se
é um círculo que NÃO engloba a origem, então o interior de
está em região onde
. Pelo Teorema de Green (ou independência de caminho),
Resposta
(a)
.
(b) se
envolve a origem.
(c) se
não envolve a origem.
(b)
(c)