Questão 3
Considere o campo vetorial
. Calcule a integral de linha
ao longo do caminho
que vai do ponto
ao ponto
seguindo:
(a) Uma linha reta.
(b) O caminho
que vai de
a
, depois para
e finalmente para
.
© Compare os resultados e explique o significado físico.
(a) Uma linha reta.
(b) O caminho
© Compare os resultados e explique o significado físico.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um campo vetorial
e precisa calcular a integral de linha
do ponto até
por dois caminhos:
(a) reta direta,
(b) trecho por trechos .
do ponto
(a) reta direta,
(b) trecho por trechos
Conteúdo que vamos usar:
- O que é integral de linha e como parametrizar o caminho;
- Como calcular
e integrar; - Propriedade de campo conservativo (independe do caminho) e teste do rotacional.
Passo 2
Cálculo ao longo da reta direta
- Parametrização
, . - Derivada
. - Campo ao longo da curva
. - Produto escalar
- Integral
Pronto, deu
.
Passo 3
Cálculo no caminho em três trechos
Como a integral é somatória, fazemos cada parte:
Como a integral é somatória, fazemos cada parte:
Trecho 1:
- Aqui
, então . - Logo
.
Trecho 2:
-
, , . -
. -
. -
. -
Trecho 3:
-
, , . -
. -
. -
. -
Somando:
Passo 4
Comparação e significado físico
- Resultado da reta:
. - Resultado do caminho em L:
.
Como deu igual, o campo é conservativo, ou seja, a integral só depende dos pontos finais.
Teoria rápida: se, existe potencial tal que , e então
Resposta
Em ambos os casos a integral vale
.