Questão 3

Considere o campo vetorial A(x, y, z)=y^2 i+2 x y j+z^2 k. Calcule a integral de linha integralC A cdot d r ao longo do caminho C que vai do ponto (0,0,0) ao ponto (1,1,1) seguindo:
(a) Uma linha reta.
(b) O caminho C1 que vai de (0,0,0) a (1,0,0), depois para (1,1,0) e finalmente para (1,1,1).
© Compare os resultados e explique o significado físico.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um campo vetorial
vec A(x,y,z) = y^2,hatimath + 2xy,hatjmath + z^2,hat k
e precisa calcular a integral de linha

do ponto até por dois caminhos:
(a) reta direta,
(b) trecho por trechos .
Conteúdo que vamos usar:
  • O que é integral de linha e como parametrizar o caminho;
  • Como calcular e integrar;
  • Propriedade de campo conservativo (independe do caminho) e teste do rotacional.

Passo 2

Cálculo ao longo da reta direta
  1. Parametrização
    integral0^1 4t^2,dt = 4integral0^1 t^2,dt = 4l[tfract^33r]0^1 = tfrac43 , .
  2. Derivada
    .
  3. Campo ao longo da curva
    .
  4. Produto escalar
  5. Integral
Pronto, deu .

Passo 3

Cálculo no caminho em três trechos
Como a integral é somatória, fazemos cada parte:
Trecho 1:
  • Aqui , então .
  • Logo .
Trecho 2:
  • , , .
  • .
  • .
  • .
Trecho 3:
  • , , .
  • .
  • .
  • .
Somando:

Passo 4

Comparação e significado físico
  • Resultado da reta: .
  • Resultado do caminho em L: .
    Como deu igual, o campo é conservativo, ou seja, a integral só depende dos pontos finais.
    Teoria rápida: se , existe potencial tal que , e então
    í

Resposta

Em ambos os casos a integral vale .

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