Show that the maximum kinetic energy
, called the Compton edge, that a recoiling electron can carry away from a Compton scattering event is given by
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a energia cinética máxima $ E_k $, chamada de “Compton edge”, que um elétron pode ganhar durante um espalhamento Compton é dada por:
Aqui, estamos lidando com o tema de espalhamento Compton, que trata da interação entre um fóton (como um raio X) e um elétron. Para resolver, vamos precisar entender como a energia e o momento são transferidos nesse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do espalhamento Compton, que relaciona o comprimento de onda do fóton após o espalhamento ($ \lambda’
\lambda $):
Aqui, $ \theta $ é o ângulo de espalhamento do fóton, $ h $ é a constante de Planck, $ m $ é a massa do elétron, e $ c $ é a velocidade da luz.
Passo 3
A energia de um fóton é dada por $ E_{\gamma} = h f $, onde $ f $ é a frequência do fóton. Podemos também relacionar o comprimento de onda com a energia usando $ E_{\gamma} = \frac{h c}{\lambda} $.
Passo 4
No espalhamento Compton, a energia transferida para o elétron ($ E_k $) depende do ângulo $ \theta $. Queremos encontrar a energia máxima que o elétron pode ganhar, ou seja, quando $ E_k $ é máximo.
Passo 5
A energia cinética máxima $ E_k $ ocorre quando o fóton é espalhado para trás ($ \theta = 180^\circ $), pois é nesse caso que a maior quantidade de energia é transferida para o elétron.
Passo 6
Vamos usar a conservação de energia e momento para relacionar as energias antes e depois do espalhamento. A energia total antes do espalhamento é $ E_{\gamma} + m c^{2} $ e após é $ E’{\gamma} + E_e $, onde $ E’{\gamma} $ é a energia do fóton espalhado e $ E_e $ é a energia do elétron.
Passo 7
A energia cinética do elétron é $ E_k = E_e - m c^{2} $. Usando as equações de conservação, podemos derivar uma expressão para $ E_k $ em função de $ E_{\gamma} $.
Passo 8
Após algumas manipulações algébricas e considerando $ \theta = 180^\circ $, chegamos à expressão para $ E_k $:
Resposta
A energia cinética máxima que o elétron pode ganhar no espalhamento Compton é: