Questão 1. Considere um circuito elétrico formado por um resistor, um capacitor e uma fonte de tensão externa ligados em série. A bateria gera uma diferença de potencial de
volts (
em segundos), enquanto a resistência
é de
ohms e a capacitância
é de
farads. A queda de potencial em um capacitor é igual a
. No instante
o capacitor estava descarregado. Modele o problema, resolva a equação diferencial encontrada. Encontre a carga no capacitor no instante
segundos (use
).
a) - 2 C.
b) Zero.
c) 5 C .
d) 4 C .
e) 1 C .
f) 3 C .
a) - 2 C.
b) Zero.
c) 5 C .
d) 4 C .
e) 1 C .
f) 3 C .
Passo 1
O enunciado fornece:
- Fonte:
volts, com em segundos. - Resistência:
. - Capacitância:
. - Condição inicial:
(o capacitor estava descarregado no instante ).
O que o problema pede:
- Modelar matematicamente o circuito (ou seja, obter a equação diferencial que governa
). - Resolver essa equação diferencial.
- Encontrar a carga no capacitor no instante
segundos, usando a aproximação .
Passo 2
Modelagem física e formulando a equação diferencial:
Em um circuito série R–C aplica-se a Lei das Malhas (KVL): a tensão fornecida
é igual à soma da queda no resistor e da queda no capacitor.
- Queda no resistor:
. - Corrente no circuito relacionada à carga do capacitor:
. - Queda no capacitor:
.
Portanto, a equação de balanço é
Passo 3
Substituindo
,
e
na equação:
Calculemos
. Assim a equação vira
Dividindo tudo por
para simplificar:
Logo, a equação diferencial a resolver é
Passo 4
Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem por fator integrante.
Escrevendo de forma padrão:
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, portanto
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
Calcule a integral do lado direito separando termos:
Sabendo que
e usando integração por partes para
:
- Tome
, então .
Portanto
Assim
Passo 6
Isolando
:
Aplicar a condição inicial
:
Logo a solução particular é
Passo 7
Calcular
. Substituindo
:
Usando a aproximação pedida
, obtemos
(Se desejar mais precisão sem a aproximação:
então
, mas o enunciado pede
.)
Resposta
a) 2 C.