Questão 1. Considere um circuito elétrico formado por um resistor, um capacitor e uma fonte de tensão externa ligados em série. A bateria gera uma diferença de potencial de V(t)=600-100 t volts ( t em segundos), enquanto a resistência R é de 10^{2} ohms e a capacitância C é de 10^{-2} farads. A queda de potencial em um capacitor é igual a Q / C. No instante t=0 o capacitor estava descarregado. Modele o problema, resolva a equação diferencial encontrada. Encontre a carga no capacitor no instante t=5 segundos (use e^{-5} \approx 0 ).
a) - 2 C.
b) Zero.
c) 5 C .
d) 4 C .
e) 1 C .
f) 3 C .

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Fonte: V(t)=600-100\,t volts, com t em segundos.
  • Resistência: R=10^{2}\\ \Omega.
  • Capacitância: C=10^{-2}\\ \mathrm{F}.
  • Condição inicial: Q(0)=0 (o capacitor estava descarregado no instante t=0).
O que o problema pede:
  • Modelar matematicamente o circuito (ou seja, obter a equação diferencial que governa Q(t)).
  • Resolver essa equação diferencial.
  • Encontrar a carga no capacitor no instante t=5 segundos, usando a aproximação e^{-5}\approx0.

Passo 2

Modelagem física e formulando a equação diferencial:
Em um circuito série R–C aplica-se a Lei das Malhas (KVL): a tensão fornecida V(t) é igual à soma da queda no resistor e da queda no capacitor.
  • Queda no resistor: V_R = R\,I.
  • Corrente no circuito relacionada à carga do capacitor: I=\dfrac{dQ}{dt}.
  • Queda no capacitor: V_C=\dfrac{Q}{C}.
Portanto, a equação de balanço é
V(t)=R\,\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}.

Passo 3

Substituindo V(t), R e C na equação:
600-100\,t = 10^{2}\,\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{10^{-2}}.
Calculemos \dfrac{Q}{C}=\dfrac{Q}{10^{-2}} = 10^{2} Q. Assim a equação vira
600-100\,t = 10^{2}\,\frac{dQ}{dt} + 10^{2}Q.
Dividindo tudo por 10^{2} para simplificar:
\frac{dQ}{dt}+Q = \frac{600-100\,t}{10^{2}} = 6 - t.
Logo, a equação diferencial a resolver é
\frac{dQ}{dt}+Q = 6 - t,\qquad Q(0)=0.

Passo 4

Resolver a equação diferencial linear de primeira ordem por fator integrante.
Escrevendo de forma padrão:
\frac{dQ}{dt} + 1\cdot Q = 6 - t.
O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^{t}.
Multiplicando a equação por \mu(t):
e^{t}\frac{dQ}{dt} + e^{t}Q = e^{t}(6 - t).
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{t}Q, portanto
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}Q\bigr)=e^{t}(6 - t).

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t:
e^{t}Q = \int e^{t}(6 - t)\,dt + C.
Calcule a integral do lado direito separando termos:
\int e^{t}(6 - t)\,dt = 6\int e^{t}\,dt - \int t e^{t}\,dt.
Sabendo que \int e^{t}\,dt = e^{t} e usando integração por partes para \int t e^{t}\,dt:
  • Tome u=t, dv=e^{t}dt então \int t e^{t}dt = t e^{t} - \int e^{t}dt = t e^{t} - e^{t}.
Portanto
\int e^{t}(6 - t)\,dt = 6e^{t} - (t e^{t} - e^{t}) = e^{t}(7 - t).
Assim
e^{t}Q = e^{t}(7 - t) + C.

Passo 6

Isolando Q(t):
Q(t) = 7 - t + C e^{-t}.
Aplicar a condição inicial Q(0)=0:
0 = 7 - 0 + C \quad\Rightarrow\quad C=-7.
Logo a solução particular é
Q(t)=7 - t - 7 e^{-t}.

Passo 7

Calcular Q(5). Substituindo t=5:
Q(5) = 7 - 5 - 7 e^{-5} = 2 - 7 e^{-5}.
Usando a aproximação pedida e^{-5}\approx 0, obtemos
Q(5)\approx 2\\ \mathrm{C}.
(Se desejar mais precisão sem a aproximação: e^{-5}\approx0{,}0067 então Q(5)\approx 2-7(0{,}0067)\approx1{,}95\\ \mathrm{C}, mas o enunciado pede e^{-5}\approx0.)

Resposta

a) 2 C.

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