Questão 3. Uma população de pernilongos aumenta numa taxa diária de 1 / 10 vezes a população atual. Você consegue eliminá-los a uma taxa constante de 6 pernilongos por dia. Escreva um PVI que modela o problema de encontrar o número de pernilongos como função do tempo, N(t). Encontre a solução geral da equação diferencial e e a solução do PVI.Se o número inicial de pernilongos é de 100 , quanto tempo levará para eliminá-los?
a) A população estaria extinta num número de dias maior do que 10 \ln \left(\frac{3}{8}\right) dias.
(f) \frac{10}{2} \ln \left(\frac{6}{11}\right) dias.
b) Nunca, pois a população se mantém constante.
g) A população estaria extinta num número de dias maior do que 10 \ln \left(\frac{3}{2}\right) dias.
c) A população só se anula se t=0.
h) A população estaria extinta num número
  • Nunca, pois a população sempre cresce. de dias menor do que \frac{10}{3} \ln \left(\frac{3}{2}\right) dias.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • A população de pernilongos cresce à taxa diária de \tfrac{1}{10} vezes a população atual.
    • Há uma remoção constante de 6 pernilongos por dia.
    • Pergunta extra: número inicial N(0)=100 — quanto tempo leva para eliminar todos os pernilongos?
  • O que o enunciado pede:
    1. Escrever o problema como um problema de valor inicial (PVI).
    2. Encontrar a solução geral da equação diferencial.
    3. Encontrar a solução do PVI com N(0)=100.
    4. Determinar o tempo até a extinção (se ocorrer) quando N(0)=100.

Passo 2

Formular a equação diferencial que modela o problema.
  • Interpretação dos termos:
    • Crescimento proporcional: isso dá um termo \tfrac{1}{10}N (crescimento instantâneo proporcional ao tamanho atual).
    • Remoção constante: isso dá um termo -6.
  • Portanto o modelo é a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dN}{dt}=\frac{1}{10}N-6.
O PVI, quando dado o valor inicial N(0)=N_0, é
\frac{dN}{dt}=\frac{1}{10}N-6,\qquad N(0)=N_0.

Passo 3

Resolver a equação diferencial homogênea associada (para entender a parte exponencial da solução).
  • A homogênea é
\frac{dN}{dt}=\frac{1}{10}N.
  • Isso é separável ou reconhecível como crescimento exponencial. Separando:
\frac{dN}{N}=\frac{1}{10}\,dt.
  • Integrando ambos os lados:
\ln|N|=\frac{t}{10}+C_1.
  • Logo a solução geral da homogênea é
N_h(t)=C e^{t/10},
onde C é constante arbitrária (aqui C=e^{C_1}).

Passo 4

Encontrar uma solução particular da equação completa.
  • Para uma equação do tipo \frac{dN}{dt}=aN+b é natural tentar uma solução particular constante N_p (porque a derivada de uma constante é zero).
  • Seja N_p constante. Substituindo na equação:
0=\frac{1}{10}N_p-6.
  • Resolvendo:
\frac{1}{10}N_p=6\quad\Rightarrow\quad N_p=60.

Passo 5

Obter a solução geral da equação não-homogênea.
  • Por linearidade (soma da solução particular com solução homogênea):
N(t)=N_p(t)+N_h(t)=60 + C e^{t/10},
onde C é constante determinada pela condição inicial.

Passo 6

Aplicar a condição inicial N(0)=100 e interpretar.
  • Substituindo t=0:
100 = N(0)=60 + C e^{0}=60 + C.
  • Assim C=40.
  • Portanto a solução do PVI com N(0)=100 é
N(t)=60 + 40 e^{t/10}.
  • Interpretação física rápida: a solução tem um termo constante 60 (um “nível” ligado ao equilíbrio) e um termo exponencial crescente 40 e^{t/10}. Como a constante multiplicadora do exponencial é positiva ( 40>0) e a exponencial cresce quando t aumenta, a população aumenta sem limite.

Passo 7

Verificar se existe tempo finito de extinção ( N(t)=0) quando N(0)=100. Dar a fórmula geral de tempo de extinção quando ela existe.
  • Para o caso N(0)=100 temos a equação a resolver:
0=60 + 40 e^{t/10}.
  • Isolando a exponencial:
e^{t/10} = -\frac{60}{40} = -\frac{3}{2}.
  • Como a função exponencial e^{t/10} é sempre positiva para todo t real, não existe t real que satisfaça essa igualdade. Logo, com N(0)=100 a população nunca atinge 0 — isto é, nunca se extingue segundo o modelo.
  • Observação adicional (útil para prova): para um PVI geral com N(0)=N_0 a solução é
N(t)=60 + (N_0-60)e^{t/10}.
Resolver N(t)=0
(N_0-60)e^{t/10}=-60 \quad\Rightarrow\quad e^{t/10}=-\frac{60}{N_0-60}.
Para que o lado direito seja positivo (necessário para existir solução real) precisa-se de N_0-60<0, ou seja N_0<60. Nesse caso (quando N_0<60) o tempo de extinção é
t_{\text{ext}}=10\ln\!\left(\frac{60}{60-N_0}\right).
Mas para N_0=100 isso não vale porque a razão ficaria negativa.

Passo 8

Resumo final e resposta objetiva para cada item pedido.

Resposta

\displaystyle \frac{dN}{dt}=\frac{1}{10}N-6.
\displaystyle N(t)=60+Ce^{t/10} (solução geral); com N(0)=100: \displaystyle N(t)=60+40e^{t/10}.
A população não é eliminada quando N(0)=100: não existe t real tal que N(t)=0 (logo nunca se extingue).

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