Questão 3. Uma população de pernilongos aumenta numa taxa diária de
vezes a população atual. Você consegue eliminá-los a uma taxa constante de 6 pernilongos por dia. Escreva um PVI que modela o problema de encontrar o número de pernilongos como função do tempo,
. Encontre a solução geral da equação diferencial e e a solução do PVI.Se o número inicial de pernilongos é de 100 , quanto tempo levará para eliminá-los?
a) A população estaria extinta num número de dias maior do que
dias.
(f)
dias.
b) Nunca, pois a população se mantém constante.
g) A população estaria extinta num número de dias maior do que
dias.
c) A população só se anula se
.
h) A população estaria extinta num número
- Nunca, pois a população sempre cresce. de dias menor do que
dias.
a) A população estaria extinta num número de dias maior do que
(f)
b) Nunca, pois a população se mantém constante.
g) A população estaria extinta num número de dias maior do que
c) A população só se anula se
h) A população estaria extinta num número
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- A população de pernilongos cresce à taxa diária de
vezes a população atual. - Há uma remoção constante de
pernilongos por dia. - Pergunta extra: número inicial
— quanto tempo leva para eliminar todos os pernilongos?
- A população de pernilongos cresce à taxa diária de
-
O que o enunciado pede:
- Escrever o problema como um problema de valor inicial (PVI).
- Encontrar a solução geral da equação diferencial.
- Encontrar a solução do PVI com
. - Determinar o tempo até a extinção (se ocorrer) quando
.
Passo 2
Formular a equação diferencial que modela o problema.
-
Interpretação dos termos:
- Crescimento proporcional: isso dá um termo
(crescimento instantâneo proporcional ao tamanho atual). - Remoção constante: isso dá um termo
.
- Crescimento proporcional: isso dá um termo
-
Portanto o modelo é a equação diferencial de primeira ordem
O PVI, quando dado o valor inicial
, é
Passo 3
Resolver a equação diferencial homogênea associada (para entender a parte exponencial da solução).
- A homogênea é
- Isso é separável ou reconhecível como crescimento exponencial. Separando:
- Integrando ambos os lados:
- Logo a solução geral da homogênea é
onde
é constante arbitrária (aqui
).
Passo 4
Encontrar uma solução particular da equação completa.
- Para uma equação do tipo
é natural tentar uma solução particular constante (porque a derivada de uma constante é zero). - Seja
constante. Substituindo na equação:
- Resolvendo:
Passo 5
Obter a solução geral da equação não-homogênea.
- Por linearidade (soma da solução particular com solução homogênea):
onde
é constante determinada pela condição inicial.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
e interpretar.
- Substituindo
:
- Assim
. - Portanto a solução do PVI com
é
- Interpretação física rápida: a solução tem um termo constante
(um “nível” ligado ao equilíbrio) e um termo exponencial crescente . Como a constante multiplicadora do exponencial é positiva ( ) e a exponencial cresce quando aumenta, a população aumenta sem limite.
Passo 7
Verificar se existe tempo finito de extinção (
) quando
. Dar a fórmula geral de tempo de extinção quando ela existe.
- Para o caso
temos a equação a resolver:
- Isolando a exponencial:
-
Como a função exponencial
é sempre positiva para todo real, não existe real que satisfaça essa igualdade. Logo, com a população nunca atinge — isto é, nunca se extingue segundo o modelo. -
Observação adicional (útil para prova): para um PVI geral com
a solução é
Resolver
dá
Para que o lado direito seja positivo (necessário para existir solução real) precisa-se de
, ou seja
. Nesse caso (quando
) o tempo de extinção é
Mas para
isso não vale porque a razão ficaria negativa.
Passo 8
Resumo final e resposta objetiva para cada item pedido.
Resposta
A população não é eliminada quando