Questão 2. Considere o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=\frac{16 x^{2}+8 x y+y^{2}}{(-2 x+y)(2 x+2 y)} \\\ y(0)=\frac{\sqrt[3]{36}}{2} \end{array}\right.
Encontre a solução geral da equação diferencial. A partir da solução geral determine a solução do problema de valor inicial. Faça um esboço da solução do PVI. Marque a única alternativa que representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial.
a) (-1,1).
b) \left(-\frac{\sqrt[3]{2}}{2},+\infty\right).
c) (-\infty,+\infty).
d) \left(-\frac{\sqrt[3]{2}}{2}, \frac{\sqrt[3]{2}}{2}\right).
e) (-\infty, 1).
  • ( (-1,+\infty ).

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{16x^{2}+8xy+y^{2}}{(-2x+y)(2x+2y)},\\[6pt] \displaystyle y(0)=\frac{\sqrt[3]{36}}{2}, \end{array}\right.
e pede:
  • encontrar a solução geral da equação diferencial;
  • determinar a solução do PVI (a solução que satisfaz a condição inicial);
  • fazer um esboço da solução do PVI;
  • indicar o intervalo de validade da solução do PVI (marcar a alternativa correta).
Informações importantes que o enunciado nos dá:
  • A função do lado direito é racional em x,y e tem possíveis singularidades quando (-2x+y)(2x+2y)=0, isto é nas retas \,y=2x e \,y=-x.
  • O ponto inicial é \,(x_0,y_0)=(0,\tfrac{\sqrt[3]{36}}{2}), com y_0\neq 0 (logo as retas singulares passam pela origem e o ponto inicial não está em nenhuma dessas retas).
  • O numerador pode ser observada como um quadrado perfeito: 16x^2+8xy+y^2=(4x+y)^2.
A resolução verdadeira começa no Passo 2.]

Passo 2

Reescrever a equação diferencial em forma diferencial exata é uma ideia promissora. Primeiro transformo a equação em uma forma de diferencial total igual a zero, multiplicando ambos os lados por (-2x+y)(2x+2y):
(-2x+y)(2x+2y)\,\frac{dy}{dx}=16x^{2}+8xy+y^{2}.
Colocando tudo no formato M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, passo todos os termos para um lado:
-\bigl(16x^{2}+8xy+y^{2}\bigr)\,dx+2(y-2x)(x+y)\,dy=0.
Definindo
M(x,y)=-\bigl(4x+y\bigr)^{2},\qquad N(x,y)=2(y-2x)(x+y),
temos a equação diferencial na forma M\,dx+N\,dy=0. Agora verifico se é exata calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=-2(4x+y)\cdot 1=-8x-2y,
\frac{\partial N}{\partial x}=2\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x^2-xy+y^2\bigr)=2(-4x-y)=-8x-2y.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a forma é exata. Então existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N, e a solução geral será \Phi(x,y)=C.

Passo 3

Encontro \Phi(x,y) integrando M em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int -\bigl(4x+y\bigr)^{2}\,dx = -\int\bigl(16x^{2}+8xy+y^{2}\bigr)\,dx.
Integrando termo a termo:
\Phi(x,y)=-\left(\frac{16x^{3}}{3}+4x^{2}y+xy^{2}\right)+h(y),
onde h(y) é uma função apenas de y. Agora calculo \Phi_y a partir dessa expressão:
\Phi_y=-4x^{2}-2xy+h'(y).
Igualo \Phi_y a N(x,y)=2(y-2x)(x+y). Primeiro simplifico N:
(y-2x)(x+y)= -2x^{2}-xy+y^{2},
N=2(-2x^{2}-xy+y^{2})=-4x^{2}-2xy+2y^{2}.
Logo
-4x^{2}-2xy+h'(y)=-4x^{2}-2xy+2y^{2},
o que implica h'(y)=2y^{2}. Integrando,
h(y)=\frac{2y^{3}}{3}+{\rm const}.

Passo 4

Substituo h(y) em \Phi e escrevo a solução implícita \Phi(x,y)=C:
\Phi(x,y)=-\left(\frac{16x^{3}}{3}+4x^{2}y+xy^{2}\right)+\frac{2y^{3}}{3}=C.
Multiplicando por 3 para eliminar frações e escrever com coeficientes inteiros:
-16x^{3}-12x^{2}y-3xy^{2}+2y^{3}=C',
ou, reordenando,
2y^{3}-3xy^{2}-12x^{2}y-16x^{3}=C',
que é a forma conveniente da solução geral implícita.

Passo 5

Agora uso a condição inicial \,y(0)=\dfrac{\sqrt[3]{36}}{2} para determinar a constante C'. Em x=0 a expressão reduz a
2y(0)^{3}=C'.
Calculo y(0)^{3}:
\left(\frac{\sqrt[3]{36}}{2}\right)^{3}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}.
Portanto
C'=2\cdot \frac{9}{2}=9.
A solução particular (do PVI) fica
2y^{3}-3xy^{2}-12x^{2}y-16x^{3}=9.

Passo 6

Agora discuto onde a solução é válida: a equação diferencial original não está definida quando (-2x+y)(2x+2y)=0, ou seja nas retas
y=2x\qquad\text{e}\qquad y=-x.
A solução implícita encontrada pode alcançar essas retas em certos pontos; nesses pontos a derivada explode e a solução não pode ser prolongada de forma clássica além deles. Para determinar o intervalo de validade ao redor de x=0 preciso achar os pontos de interseção da curva solução com cada uma dessas retas e ver qual é o mais próximo de x=0.
Faço a substituição y=2x na solução particular:
2(2x)^{3}-3x(2x)^{2}-12x^{2}(2x)-16x^{3}=9.
Calculo termo a termo:
16x^{3}-12x^{3}-24x^{3}-16x^{3}=-36x^{3}=9.
Logo
x^{3}=-\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad x=-\sqrt[3]{\frac{1}{4}}=-\frac{\sqrt[3]{2}}{2}.
Portanto a interseção da solução com a reta y=2x ocorre em x=-\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2} (valor negativo).
Agora substituo y=-x na solução particular:
2(-x)^{3}-3x(-x)^{2}-12x^{2}(-x)-16x^{3}=9,
-2x^{3}-3x^{3}+12x^{3}-16x^{3}=-9x^{3}=9,
x^{3}=-1\quad\Rightarrow\quad x=-1.
Portanto a interseção com y=-x é em x=-1.

Passo 7

Comparo os dois pontos de singularidade à esquerda de zero:
x=-\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\approx -0{,}63\quad\text{e}\quad x=-1.
O ponto mais próximo de x=0 é x=-\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2}. Assim, a solução que passa por (0,y_0) existe para x estritamente maiores que esse valor e pode ser prolongada para todo x à direita (não há outras singularidades para x>0). Conclui-se que o intervalo maximal que contém x=0 e onde a solução é válida é
\left(-\frac{\sqrt[3]{2}}{2},+\infty\right).

Passo 8

Esboço (descrição verbal do gráfico da solução do PVI):
  • A curva solução passa por \,(0,\tfrac{\sqrt[3]{36}}{2}) com declive inicial \dfrac{dy}{dx}\big|_{(0,y_0)}=\dfrac{y_0^{2}}{2y_0^{2}}=\tfrac{1}{2}.
  • Indo para a esquerda a curva atinge primeiro a reta y=2x em x=-\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2} (onde a equação deixa de ser definida).
  • Indo para a direita a curva não encontra as retas singulares e pode ser prolongada para todo x>-\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2}.
  • Assim o esboço mostra uma curva contínua cortando o eixo vertical em y_0, passando com inclinação 1/2 e com fronteira à esquerda em x=-\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \text{Solução geral (implícita): }2y^{3}-3xy^{2}-12x^{2}y-16x^{3}=C.çãí
\displaystyle \text{Solução do PVI (implícita): }2y^{3}-3xy^{2}-12x^{2}y-16x^{3}=9.çãí
\displaystyle \text{Intervalo de validade do PVI: } \left(-\frac{\sqrt[3]{2}}{2},+\infty\right) (alternativa b).

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