Encontre a solução geral da equação diferencial. A partir da solução geral determine a solução do problema de valor inicial. Faça um esboço da solução do PVI. Marque a única alternativa que representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial.
a) (-1,1).
b) \left(-\frac{\sqrt[3]{2}}{2},+\infty\right).
c) (-\infty,+\infty).
d) \left(-\frac{\sqrt[3]{2}}{2}, \frac{\sqrt[3]{2}}{2}\right).
e) (-\infty, 1).
determinar a solução do PVI (a solução que satisfaz a condição inicial);
fazer um esboço da solução do PVI;
indicar o intervalo de validade da solução do PVI (marcar a alternativa correta).
Informações importantes que o enunciado nos dá:
A função do lado direito é racional em x,y e tem possíveis singularidades quando (-2x+y)(2x+2y)=0, isto é nas retas \,y=2x e \,y=-x.
O ponto inicial é \,(x_0,y_0)=(0,\tfrac{\sqrt[3]{36}}{2}), com y_0\neq 0 (logo as retas singulares passam pela origem e o ponto inicial não está em nenhuma dessas retas).
O numerador pode ser observada como um quadrado perfeito: 16x^2+8xy+y^2=(4x+y)^2.
A resolução verdadeira começa no Passo 2.]
Passo 2
Reescrever a equação diferencial em forma diferencial exata é uma ideia promissora. Primeiro transformo a equação em uma forma de diferencial total igual a zero, multiplicando ambos os lados por (-2x+y)(2x+2y):
(-2x+y)(2x+2y)\,\frac{dy}{dx}=16x^{2}+8xy+y^{2}.
Colocando tudo no formato M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, passo todos os termos para um lado:
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a forma é exata. Então existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N, e a solução geral será \Phi(x,y)=C.
Passo 3
Encontro \Phi(x,y) integrando M em relação a x (tratando y como constante):
Agora discuto onde a solução é válida: a equação diferencial original não está definida quando (-2x+y)(2x+2y)=0, ou seja nas retas
y=2x\qquad\text{e}\qquad y=-x.
A solução implícita encontrada pode alcançar essas retas em certos pontos; nesses pontos a derivada explode e a solução não pode ser prolongada de forma clássica além deles. Para determinar o intervalo de validade ao redor de x=0 preciso achar os pontos de interseção da curva solução com cada uma dessas retas e ver qual é o mais próximo de x=0.
O ponto mais próximo de x=0 é x=-\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2}. Assim, a solução que passa por (0,y_0) existe para x estritamente maiores que esse valor e pode ser prolongada para todo x à direita (não há outras singularidades para x>0). Conclui-se que o intervalo maximal que contém x=0 e onde a solução é válida é
\left(-\frac{\sqrt[3]{2}}{2},+\infty\right).
Passo 8
Esboço (descrição verbal do gráfico da solução do PVI):
A curva solução passa por \,(0,\tfrac{\sqrt[3]{36}}{2}) com declive inicial \dfrac{dy}{dx}\big|_{(0,y_0)}=\dfrac{y_0^{2}}{2y_0^{2}}=\tfrac{1}{2}.
Indo para a esquerda a curva atinge primeiro a reta y=2x em x=-\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2} (onde a equação deixa de ser definida).
Indo para a direita a curva não encontra as retas singulares e pode ser prolongada para todo x>-\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2}.
Assim o esboço mostra uma curva contínua cortando o eixo vertical em y_0, passando com inclinação 1/2 e com fronteira à esquerda em x=-\dfrac{\sqrt[3]{2}}{2}.
Resposta
\displaystyle \text{Solução geral (implícita): }2y^{3}-3xy^{2}-12x^{2}y-16x^{3}=C.çãí \displaystyle \text{Solução do PVI (implícita): }2y^{3}-3xy^{2}-12x^{2}y-16x^{3}=9.çãí \displaystyle \text{Intervalo de validade do PVI: } \left(-\frac{\sqrt[3]{2}}{2},+\infty\right) (alternativa b).