Encontre a solução geral da equação diferencial. A partir da solução geral determine a solução do problema de valor inicial. Faça um esboço da solução do PVI. Marque a única alternativa que representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial.
a) \left(-\frac{\sqrt[3]{36}}{12}, \frac{\sqrt[3]{36}}{12}\right).
b) \left(-\frac{\sqrt[3]{36}}{12},+\infty\right).
c) (-\infty,+\infty).
d) \left(-\frac{\sqrt[3]{12}}{4}, \frac{\sqrt[3]{12}}{4}\right).
e) (-\infty, \frac{\sqrt[3]{12}}{4}\right).
e pede (i) a solução geral da equação diferencial, (ii) a solução do PVI, (iii) um esboço da solução do PVI e (iv) assinalar o intervalo de validade (entre as alternativas dadas).
Informações relevantes que já temos: a expressão do lado direito é uma razão de polinômios quadráticos em x,y; o ponto inicial é \bigl(0,\tfrac{\sqrt[3]{6}}{2}\bigr). A equação pode apresentar singularidades quando o denominador for zero, ou seja quando -3x+y=0 (linha y=3x) ou quando 4x+4y=0 (linha y=-x). A partir daqui vamos resolver passo a passo.]
Passo 2
Primeiro simplifico o lado direito algébrica e funcionalmente. Faço fatorações:
que simplifica para (multiplicando e rearranjando)
-y^3 +3xy^2 +9x^2y +9x^3 = C.
Esta é a solução geral implícita da EDO (constante C\in\mathbb{R}).
Passo 5
Agora aplico a condição inicial y(0)=\dfrac{\sqrt[3]{6}}{2}. Avalio a expressão geral em x=0. No lado esquerdo, os termos com x somam zero, resta apenas -y(0)^3. Portanto
C = -y(0)^3 = -\Bigl(\frac{\sqrt[3]{6}}{2}\Bigr)^3 = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}.
Logo a solução particular (implícita) do PVI é
-y^3 +3xy^2 +9x^2y +9x^3 = -\frac{3}{4},
ou equivalentemente
y^3 -3xy^2 -9x^2y -9x^3 = \frac{3}{4}.
Passo 6
Precisamos do intervalo de validade máxima contendo x=0. A EDO é indefinida quando o denominador (-3x+y)(x+y) é zero, isto é sobre as retas
y=3x \quad\text{e}\quad y=-x.
A solução do PVI permanece válida até que a curva solução encontre uma dessas retas (ou até infinito, se nunca encontrar). Então encontro os x onde a solução particular intersecta cada reta.
Interseção com y=3x: substituo y=3x na solução particular:
-y^3 +3xy^2 +9x^2y +9x^3 = 36x^3.
Igualando a -\tfrac{3}{4} (o lado direito do PVI) dá
36x^3 = -\frac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad x^3 = -\frac{1}{48}\quad\Rightarrow\quad x = -\sqrt[3]{\frac{1}{48}}.
Observação: \displaystyle \sqrt[3]{\frac{1}{48}}=\frac{\sqrt[3]{36}}{12} porque 36\cdot 48=1728=12^3. Assim o ponto de interseção com y=3x ocorre em
x = -\frac{\sqrt[3]{36}}{12}.
Interseção com y=-x: substituo y=-x:
-y^3 +3xy^2 +9x^2y +9x^3 = 4x^3.
Igualando a -\tfrac{3}{4} dá
4x^3 = -\frac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad x^3 = -\frac{3}{16}\quad\Rightarrow\quad x = -\sqrt[3]{\frac{3}{16}}.
Ambos os x de interseção são negativos. Qual é o primeiro ponto singular que a solução atinge ao sair de x=0? Comparamos módulos:
portanto a interseção mais próxima de 0 à esquerda é em x=-\dfrac{\sqrt[3]{36}}{12} (linha y=3x). À direita de 0 não há interseção com essas retas (não há x>0 resolvendo as equações acima), portanto a solução se estende para +\infty. Assim o intervalo maximal de existência da solução que contém 0 é
\left(-\frac{\sqrt[3]{36}}{12},\;+\infty\right).
Passo 7
Esboço descritivo da solução do PVI (para visualizar na prova): desenho do plano xy com as duas retas singulares traçadas:
reta y=3x (inclinada bem acima da bissetriz) e reta y=-x (pendendo para baixo).
ponto inicial \bigl(0,\tfrac{\sqrt[3]{6}}{2}\bigr) está no eixo x=0 acima da origem.
a curva solução passa por esse ponto; ao mover-se para a esquerda ela encontra primeiro a reta y=3x no x=-\dfrac{\sqrt[3]{36}}{12} (aí a EDO torna-se singular) e para a direita a curva continua indefinidamente, portanto o trecho admissível do eixo x é \left(-\dfrac{\sqrt[3]{36}}{12},+\infty\right).
Resposta
Solução geral (implícita): -y^3 +3xy^2 +9x^2y +9x^3 = C.
Solução do PVI (constante C=-\tfrac{3}{4}): -y^3 +3xy^2 +9x^2y +9x^3 = -\dfrac{3}{4}.
Alternativa correta (intervalo de validade): (b) \displaystyle \left(-\frac{\sqrt[3]{36}}{12},+\infty\right).