Questão 2. Considere o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=\frac{36 x^{2}+24 x y+4 y^{2}}{(-3 x+y)(4 x+4 y)} \\\ y(0)=\frac{\sqrt[3]{6}}{2} \end{array}\right.
Encontre a solução geral da equação diferencial. A partir da solução geral determine a solução do problema de valor inicial. Faça um esboço da solução do PVI. Marque a única alternativa que representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial.
a) \left(-\frac{\sqrt[3]{36}}{12}, \frac{\sqrt[3]{36}}{12}\right).
b) \left(-\frac{\sqrt[3]{36}}{12},+\infty\right).
c) (-\infty,+\infty).
d) \left(-\frac{\sqrt[3]{12}}{4}, \frac{\sqrt[3]{12}}{4}\right).
e) (-\infty, \frac{\sqrt[3]{12}}{4}\right).
  • \left(-\frac{\sqrt[3]{12}}{4},+\infty\right).

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{36 x^{2}+24 x y+4 y^{2}}{(-3 x+y)(4 x+4 y)},\\[6pt] y(0)=\dfrac{\sqrt[3]{6}}{2}, \end{array}\right.
e pede (i) a solução geral da equação diferencial, (ii) a solução do PVI, (iii) um esboço da solução do PVI e (iv) assinalar o intervalo de validade (entre as alternativas dadas).
Informações relevantes que já temos: a expressão do lado direito é uma razão de polinômios quadráticos em x,y; o ponto inicial é \bigl(0,\tfrac{\sqrt[3]{6}}{2}\bigr). A equação pode apresentar singularidades quando o denominador for zero, ou seja quando -3x+y=0 (linha y=3x) ou quando 4x+4y=0 (linha y=-x). A partir daqui vamos resolver passo a passo.]

Passo 2

Primeiro simplifico o lado direito algébrica e funcionalmente. Faço fatorações:
36x^2+24xy+4y^2 = 4(9x^2+6xy+y^2)=4(3x+y)^2,
e
(-3x+y)(4x+4y)=4(-3x+y)(x+y).
Portanto a EDO simplifica para
\frac{dy}{dx}=\frac{4(3x+y)^2}{4(-3x+y)(x+y)}=\frac{(3x+y)^2}{(-3x+y)(x+y)}.
Note que o lado direito é homogêneo de grau zero (cada termo é do mesmo grau em x,y), então a substituição padrão v=\dfrac{y}{x} é adequada.

Passo 3

Faço a substituição v=\dfrac{y}{x}. Lembrando a fórmula de derivada para essa troca:
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Escrevo o lado direito em termos de v. Observando que 3x+y = x(3+v), -3x+y = x(v-3) e x+y = x(1+v), obtemos
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{(x(3+v))^2}{x^2(v-3)(1+v)}=\frac{(3+v)^2}{(v-3)(1+v)}.
Subtraindo v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx}=\frac{(3+v)^2}{(v-3)(1+v)}-v.
Agora coloco em uma única fração. O numerador resultante é
(3+v)^2 - v(v-3)(v+1).
Chamo esse numerador de N(v). Faço a expansão para ver sua forma:
N(v) = -v^3 + 3v^2 + 9v + 9.
O denominador é (v-3)(v+1). Assim
x\frac{dv}{dx}=\frac{N(v)}{(v-3)(v+1)}.
Logo a equação separável fica
\frac{(v-3)(v+1)}{N(v)}\,dv=\frac{dx}{x}.

Passo 4

Vejo um truque útil: calculo N'(v):
N'(v) = -3v^2 +6v +9 = -3(v-3)(v+1).
Logo (v-3)(v+1) = -\dfrac{1}{3}N'(v). Isso permite reescrever o integrando como
\frac{(v-3)(v+1)}{N(v)}\,dv = -\frac{1}{3}\frac{N'(v)}{N(v)}\,dv.
Integro ambos os lados:
\int -\frac{1}{3}\frac{N'(v)}{N(v)}\,dv = \int \frac{dx}{x}.
A integral esquerda é imediata:
-\frac{1}{3}\ln|N(v)| = \ln|x| + C.
Multiplicando por -3 e exponenciando, obtenho
|N(v)| = C_1 x^{-3},
ou, sem o valor absoluto e com constante genérica C,
N(v) = C x^{-3}.
Voltando a v=\dfrac{y}{x} e multiplicando por x^3 para eliminar denominadores, escrevo a solução geral implícita:
-x^3\Bigl(\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^3 -3\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^2 -9\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) -9\Bigr)=C,
que simplifica para (multiplicando e rearranjando)
-y^3 +3xy^2 +9x^2y +9x^3 = C.
Esta é a solução geral implícita da EDO (constante C\in\mathbb{R}).

Passo 5

Agora aplico a condição inicial y(0)=\dfrac{\sqrt[3]{6}}{2}. Avalio a expressão geral em x=0. No lado esquerdo, os termos com x somam zero, resta apenas -y(0)^3. Portanto
C = -y(0)^3 = -\Bigl(\frac{\sqrt[3]{6}}{2}\Bigr)^3 = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}.
Logo a solução particular (implícita) do PVI é
-y^3 +3xy^2 +9x^2y +9x^3 = -\frac{3}{4},
ou equivalentemente
y^3 -3xy^2 -9x^2y -9x^3 = \frac{3}{4}.

Passo 6

Precisamos do intervalo de validade máxima contendo x=0. A EDO é indefinida quando o denominador (-3x+y)(x+y) é zero, isto é sobre as retas
y=3x \quad\text{e}\quad y=-x.
A solução do PVI permanece válida até que a curva solução encontre uma dessas retas (ou até infinito, se nunca encontrar). Então encontro os x onde a solução particular intersecta cada reta.
  • Interseção com y=3x: substituo y=3x na solução particular:
    -y^3 +3xy^2 +9x^2y +9x^3 = 36x^3.
    Igualando a -\tfrac{3}{4} (o lado direito do PVI) dá
    36x^3 = -\frac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad x^3 = -\frac{1}{48}\quad\Rightarrow\quad x = -\sqrt[3]{\frac{1}{48}}.
    Observação: \displaystyle \sqrt[3]{\frac{1}{48}}=\frac{\sqrt[3]{36}}{12} porque 36\cdot 48=1728=12^3. Assim o ponto de interseção com y=3x ocorre em
    x = -\frac{\sqrt[3]{36}}{12}.
  • Interseção com y=-x: substituo y=-x:
    -y^3 +3xy^2 +9x^2y +9x^3 = 4x^3.
    Igualando a -\tfrac{3}{4}
    4x^3 = -\frac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad x^3 = -\frac{3}{16}\quad\Rightarrow\quad x = -\sqrt[3]{\frac{3}{16}}.
Ambos os x de interseção são negativos. Qual é o primeiro ponto singular que a solução atinge ao sair de x=0? Comparamos módulos:
\left|\,-\frac{\sqrt[3]{36}}{12}\right|\approx 0,275\quad\text{e}\quad \left|-\sqrt[3]{\frac{3}{16}}\right|\approx 0,574,
portanto a interseção mais próxima de 0 à esquerda é em x=-\dfrac{\sqrt[3]{36}}{12} (linha y=3x). À direita de 0 não há interseção com essas retas (não há x>0 resolvendo as equações acima), portanto a solução se estende para +\infty. Assim o intervalo maximal de existência da solução que contém 0 é
\left(-\frac{\sqrt[3]{36}}{12},\;+\infty\right).

Passo 7

Esboço descritivo da solução do PVI (para visualizar na prova): desenho do plano xy com as duas retas singulares traçadas:
  • reta y=3x (inclinada bem acima da bissetriz) e reta y=-x (pendendo para baixo).
  • ponto inicial \bigl(0,\tfrac{\sqrt[3]{6}}{2}\bigr) está no eixo x=0 acima da origem.
  • a curva solução passa por esse ponto; ao mover-se para a esquerda ela encontra primeiro a reta y=3x no x=-\dfrac{\sqrt[3]{36}}{12} (aí a EDO torna-se singular) e para a direita a curva continua indefinidamente, portanto o trecho admissível do eixo x é \left(-\dfrac{\sqrt[3]{36}}{12},+\infty\right).

Resposta

Solução geral (implícita): -y^3 +3xy^2 +9x^2y +9x^3 = C.
Solução do PVI (constante C=-\tfrac{3}{4}): -y^3 +3xy^2 +9x^2y +9x^3 = -\dfrac{3}{4}.
Alternativa correta (intervalo de validade): (b) \displaystyle \left(-\frac{\sqrt[3]{36}}{12},+\infty\right).

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