Questão 4. Considere o cone de revolução
.
a) Parametrize
usando coordenadas cilíndricas e esboce as curvas coordenadas. Elas são ortogonais? Resposta:
. Sim.
b) Parametrize
usando as coordenadas esféricas (
) e esboce as curvas coordenadas. Verifique que os vetores
e
são tangentes a essas curvas e que
é normal a
.
Resposta:
.
a) Parametrize
b) Parametrize
Resposta:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, com informações dadas:
- (a) Parametrizar a superfície
usando coordenadas cilíndricas, esboçar as curvas coordenadas e responder se elas são ortogonais. - (b) Parametrizar
usando coordenadas esféricas (com parâmetros e ), esboçar as curvas coordenadas e verificar que os vetores e são tangentes a essas curvas e que é normal a .
Informações relevantes dadas pelo enunciado/usuário (que usaremos):
- A resposta esperada para (a) é
e que as curvas são ortogonais. - A resposta esperada para (b) é
.
Passo 2
Explicação das coordenadas cilíndricas e construção da parametrização da parte (a).
- Lembra como coordenadas cilíndricas funcionam: em coordenadas cilíndricas usamos
com
Aqui
é a distância ao eixo
no plano
, e
é o ângulo azimutal no plano
.
- A superfície
satisfaz . Em coordenadas cilíndricas temos . Logo a equação do cone vira
- Assim podemos parametrizar
tomando como parâmetros (variáveis livres) e substituindo:
Esse é exatamente o vetor posição da superfície em função de
e
.
Passo 3
Esboço mental das curvas coordenadas (cilíndricas) e interpretação geométrica.
-
Curva com
fixo e variando: .
Isto é um círculo no plano horizontalcom centro na reta acima da origem e raio . Geometricamente é a interseção do cone com o plano horizontal . -
Curva com
fixo e variando: .
Isto é uma semi-reta (no sentido positivo de) partindo da origem e andando ao longo de uma geratriz do cone (uma reta inclinada que gera o cone). Para cada temos uma geratriz do cone.
Passo 4
Verificação da ortogonalidade das curvas coordenadas (cilíndricas) por cálculo de derivadas parciais e produto interno.
- Derivadas parciais da parametrização
:
-
Essas derivadas são vetores tangentes às curvas coordenadas:
é a velocidade da curva constante (varia ), e é a velocidade da curva constante (varia ). -
Produto interno (ponto a ponto) para testar ortogonalidade:
Como o produto escalar é zero para todo
, as direções tangentes às curvas coordenadas são ortogonais. Portanto as curvas coordenadas são ortogonais.
Passo 5
Tamanhos (normas) dos vetores tangentes — dica prática para a prova.
- Normas:
Saber isso é útil se pedirem área elementar ou vetores unitários na prova (por exemplo o elemento de área local seria
se for ortogonal).
Passo 6
Passando para coordenadas esféricas: definição e razão para escolher
.
- Em coordenadas esféricas (convenção usada aqui) usamos os parâmetros
com
Aqui
é a distância ao origem,
é o ângulo polar (ângulo medido a partir do eixo
positivo) e
é o azimute.
- Para a superfície
temos . Em termos esféricos:
Ou seja,
é exatamente o conjunto de pontos com ângulo polar fixo
. Isso faz sentido: o cone tem abertura tal que a generatriz faz
com o eixo
.
Passo 7
Parametrização esférica com
(parte b) e interpretação das curvas coordenadas.
- Substituindo
nas fórmulas esféricas:
Logo a parametrização com parâmetros
é
Isto coincide com a forma dada no enunciado/usuário.
- Curvas coordenadas esféricas:
-
variando com fixo: linha retilínea saindo da origem ao longo de uma geratriz do cone (mesma ideia que com variável na parametrização cilíndrica). -
variando com fixo: é um círculo na interseção do cone com a esfera de raio .
-
Passo 8
Cálculo das derivadas parciais na parametrização esférica e identificação com
e
.
- Derivadas parciais:
- Observe que
é exatamente o vetor radial unitário da base esférica (no ponto com ), ou seja . Explicando: o vetor unitário radial em esféricas é
avaliado em
dá
que coincide com
. Portanto
é tangente à curva
const (varia
) — é a direção das geratrizes.
- O vetor
é colinear ao vetor azimutal unitário , já que em esféricas
portanto
Isto mostra que
aponta na direção da curva
const (varia
), logo
é tangente a essa curva (até uma constante de escala).
Passo 9
Verificação explícita de que
é normal a
(produto escalar com as tangentes = 0).
- Vetor unitário
(direção do aumento de ) na convenção usada é
Avaliando em
:
- Produto escalar com
:
- Produto escalar com
:
- Como
é ortogonal tanto a quanto a , e estes geram o espaço tangente à superfície no ponto considerado, concluímos que é um vetor normal a . Isso também é esperado conceitualmente: é a superfície definida por constante, e a direção de aumento de é ortogonal à superfície de constante.
Passo 10
Resumo final, conexão entre as duas parametrizações e dica rápida para a prova.
-
Relação entre parâmetros: na parametrização cilíndrica
e na esférica temos, na superfície, . Assim . Isso mostra que as duas parametrizações representam a mesma superfície com mudança de parâmetro simples. -
Dicas para a prova:
- Sempre que a superfície for do tipo
procure tal que (aqui deu ). - Para verificar se vetores são tangentes, calcule as derivadas parciais da parametrização; para normalidade, teste produto escalar com essas derivadas.
- Lembre que em esféricas
formam base ortonormal (com a convenção usada), então se dois primeiros geram o tangente, o terceiro é normal.
- Sempre que a superfície for do tipo
Resposta
(a)
Sim, as curvas coordenadas são ortogonais.
(b)
Os vetores
e
são tangentes às curvas coordenadas (respectivamente geratrizes e círculos de interseção) e
é normal a
.