Questão 4. Considere o cone de revolução S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}.
a) Parametrize S usando coordenadas cilíndricas e esboce as curvas coordenadas. Elas são ortogonais? Resposta: (r \cos \theta, r \operatorname{sen} \theta, r),(r, \theta) \in[0, \infty) \times[0,2 \pi]. Sim.
b) Parametrize S usando as coordenadas esféricas ( \rho, \theta ) e esboce as curvas coordenadas. Verifique que os vetores \boldsymbol{e}_{\rho} e \boldsymbol{e}_{\theta} são tangentes a essas curvas e que e_{\varphi} é normal a S.
Resposta: \frac{\sqrt{2}}{2}(\rho \cos \theta, \rho \operatorname{sen} \theta, \rho),(\rho, \theta) \in[0, \infty) \times[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, com informações dadas:
  • (a) Parametrizar a superfície S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\; z=\sqrt{x^2+y^2}\} usando coordenadas cilíndricas, esboçar as curvas coordenadas e responder se elas são ortogonais.
  • (b) Parametrizar S usando coordenadas esféricas (com parâmetros \rho e \theta), esboçar as curvas coordenadas e verificar que os vetores \boldsymbol{e}_{\rho} e \boldsymbol{e}_{\theta} são tangentes a essas curvas e que \boldsymbol{e}_{\varphi} é normal a S.
Informações relevantes dadas pelo enunciado/usuário (que usaremos):
  • A resposta esperada para (a) é (r\cos\theta,\; r\operatorname{sen}\theta,\; r),\\ (r,\theta)\in[0,\infty)\times[0,2\pi] e que as curvas são ortogonais.
  • A resposta esperada para (b) é \dfrac{\sqrt{2}}{2}(\rho\cos\theta,\; \rho\operatorname{sen}\theta,\; \rho),\\ (\rho,\theta)\in[0,\infty)\times[0,2\pi].

Passo 2

Explicação das coordenadas cilíndricas e construção da parametrização da parte (a).
  • Lembra como coordenadas cilíndricas funcionam: em coordenadas cilíndricas usamos \;(r,\theta,z)\; com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\operatorname{sen}\theta,\qquad z=z.
Aqui r\ge 0 é a distância ao eixo z no plano xy, e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.
  • A superfície S satisfaz z=\sqrt{x^2+y^2}. Em coordenadas cilíndricas temos \sqrt{x^2+y^2}=r. Logo a equação do cone vira
z = r.
  • Assim podemos parametrizar S tomando (r,\theta) como parâmetros (variáveis livres) e substituindo:
\mathbf{X}(r,\theta) = \big(r\cos\theta,\; r\operatorname{sen}\theta,\; r\big),\qquad (r,\theta)\in[0,\infty)\times[0,2\pi].
Esse é exatamente o vetor posição da superfície em função de r e \theta.

Passo 3

Esboço mental das curvas coordenadas (cilíndricas) e interpretação geométrica.
  • Curva com r fixo r=r_0 e \theta variando: \theta\mapsto\big(r_0\cos\theta,\; r_0\operatorname{sen}\theta,\; r_0\big).
    Isto é um círculo no plano horizontal z=r_0 com centro na reta z=r_0 acima da origem e raio r_0. Geometricamente é a interseção do cone com o plano horizontal z=r_0.
  • Curva com \theta fixo \theta=\theta_0 e r variando: r\mapsto\big(r\cos\theta_0,\; r\operatorname{sen}\theta_0,\; r\big).
    Isto é uma semi-reta (no sentido positivo de r) partindo da origem e andando ao longo de uma geratriz do cone (uma reta inclinada que gera o cone). Para cada \theta_0 temos uma geratriz do cone.

Passo 4

Verificação da ortogonalidade das curvas coordenadas (cilíndricas) por cálculo de derivadas parciais e produto interno.
  • Derivadas parciais da parametrização \mathbf{X}(r,\theta):
\mathbf{X}_r(r,\theta)=\frac{\partial\mathbf{X}}{\partial r} = \big(\cos\theta,\; \operatorname{sen}\theta,\; 1\big),
\mathbf{X}_\theta(r,\theta)=\frac{\partial\mathbf{X}}{\partial\theta} = \big(-r\operatorname{sen}\theta,\; r\cos\theta,\; 0\big).
  • Essas derivadas são vetores tangentes às curvas coordenadas: \mathbf{X}_r é a velocidade da curva \theta= constante (varia r), e \mathbf{X}_\theta é a velocidade da curva r= constante (varia \theta).
  • Produto interno (ponto a ponto) para testar ortogonalidade:
\mathbf{X}_r\cdot\mathbf{X}_\theta = (\cos\theta)(-r\operatorname{sen}\theta) + (\operatorname{sen}\theta)(r\cos\theta) + (1)(0) = -r\cos\theta\operatorname{sen}\theta + r\operatorname{sen}\theta\cos\theta = 0.
Como o produto escalar é zero para todo (r,\theta), as direções tangentes às curvas coordenadas são ortogonais. Portanto as curvas coordenadas são ortogonais.

Passo 5

Tamanhos (normas) dos vetores tangentes — dica prática para a prova.
  • Normas:
\|\mathbf{X}_r\| = \sqrt{\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2},
\|\mathbf{X}_\theta\| = \sqrt{(-r\operatorname{sen}\theta)^2+(r\cos\theta)^2+0^2}=\sqrt{r^2(\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta)}=\sqrt{r^2}=r.
Saber isso é útil se pedirem área elementar ou vetores unitários na prova (por exemplo o elemento de área local seria \|\mathbf{X}_r\times\mathbf{X}_\theta\|\,dr\,d\theta = \|\mathbf{X}_r\|\,\|\mathbf{X}_\theta\|\,dr\,d\theta se for ortogonal).

Passo 6

Passando para coordenadas esféricas: definição e razão para escolher \varphi=\pi/4.
  • Em coordenadas esféricas (convenção usada aqui) usamos os parâmetros (\rho,\varphi,\theta) com
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\varphi\operatorname{sen}\theta,\qquad z = \rho\cos\varphi.
Aqui \rho\ge0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (ângulo medido a partir do eixo z positivo) e \theta\in[0,2\pi) é o azimute.
  • Para a superfície S temos z=\sqrt{x^2+y^2}. Em termos esféricos:
\rho\cos\varphi = \rho\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi=\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{4}.
Ou seja, S é exatamente o conjunto de pontos com ângulo polar fixo \varphi=\pi/4. Isso faz sentido: o cone tem abertura tal que a generatriz faz 45^\circ com o eixo z.

Passo 7

Parametrização esférica com \varphi=\pi/4 (parte b) e interpretação das curvas coordenadas.
  • Substituindo \varphi=\pi/4 nas fórmulas esféricas:
\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Logo a parametrização com parâmetros (\rho,\theta) é
\mathbf{G}(\rho,\theta) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\rho\cos\theta,\; \frac{\sqrt{2}}{2}\rho\operatorname{sen}\theta,\; \frac{\sqrt{2}}{2}\rho\right), \qquad (\rho,\theta)\in[0,\infty)\times[0,2\pi].
Isto coincide com a forma dada no enunciado/usuário.
  • Curvas coordenadas esféricas:
    • \rho variando com \theta fixo: linha retilínea saindo da origem ao longo de uma geratriz do cone (mesma ideia que com r variável na parametrização cilíndrica).
    • \theta variando com \rho fixo: é um círculo na interseção do cone com a esfera de raio \rho.

Passo 8

Cálculo das derivadas parciais na parametrização esférica e identificação com \boldsymbol{e}_{\rho} e \boldsymbol{e}_{\theta}.
  • Derivadas parciais:
\mathbf{G}_\rho(\rho,\theta)=\frac{\partial\mathbf{G}}{\partial\rho} =\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta,\; \frac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{sen}\theta,\; \frac{\sqrt{2}}{2}\right).
\mathbf{G}_\theta(\rho,\theta)=\frac{\partial\mathbf{G}}{\partial\theta} =\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\rho\operatorname{sen}\theta,\; \frac{\sqrt{2}}{2}\rho\cos\theta,\; 0\right).
  • Observe que \mathbf{G}_\rho é exatamente o vetor radial unitário da base esférica (no ponto com \varphi=\pi/4), ou seja \boldsymbol{e}_{\rho}. Explicando: o vetor unitário radial em esféricas é
\boldsymbol{e}_{\rho}=(\sin\varphi\cos\theta,\;\sin\varphi\operatorname{sen}\theta,\;\cos\varphi),
avaliado em \varphi=\pi/4
\boldsymbol{e}_{\rho}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta,\;\frac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{sen}\theta,\;\frac{\sqrt{2}}{2}\right),
que coincide com \mathbf{G}_\rho. Portanto \boldsymbol{e}_{\rho} é tangente à curva \theta= const (varia \rho) — é a direção das geratrizes.
  • O vetor \mathbf{G}_\theta é colinear ao vetor azimutal unitário \boldsymbol{e}_{\theta}, já que em esféricas
\boldsymbol{e}_{\theta}=(-\operatorname{sen}\theta,\;\cos\theta,\;0),
portanto
\mathbf{G}_\theta = \rho\sin\varphi\;\boldsymbol{e}_{\theta} = \rho\frac{\sqrt{2}}{2}\,\boldsymbol{e}_{\theta}.
Isto mostra que \boldsymbol{e}_{\theta} aponta na direção da curva \rho= const (varia \theta), logo \boldsymbol{e}_{\theta} é tangente a essa curva (até uma constante de escala).

Passo 9

Verificação explícita de que \boldsymbol{e}_{\varphi} é normal a S (produto escalar com as tangentes = 0).
  • Vetor unitário \boldsymbol{e}_{\varphi} (direção do aumento de \varphi) na convenção usada é
\boldsymbol{e}_{\varphi}=(\cos\varphi\cos\theta,\;\cos\varphi\operatorname{sen}\theta,\; -\sin\varphi).
Avaliando em \varphi=\pi/4:
\boldsymbol{e}_{\varphi}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta,\;\frac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{sen}\theta,\; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
  • Produto escalar com \mathbf{G}_\rho:
\boldsymbol{e}_{\varphi}\cdot\mathbf{G}_\rho = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{sen}\theta\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{sen}\theta + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.
  • Produto escalar com \mathbf{G}_\theta:
\boldsymbol{e}_{\varphi}\cdot\mathbf{G}_\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\rho\operatorname{sen}\theta\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{sen}\theta\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\rho\cos\theta\right) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot 0 = -\frac{\rho}{2}\cos\theta\operatorname{sen}\theta + \frac{\rho}{2}\operatorname{sen}\theta\cos\theta = 0.
  • Como \boldsymbol{e}_{\varphi} é ortogonal tanto a \mathbf{G}_\rho quanto a \mathbf{G}_\theta, e estes geram o espaço tangente à superfície S no ponto considerado, concluímos que \boldsymbol{e}_{\varphi} é um vetor normal a S. Isso também é esperado conceitualmente: S é a superfície definida por \varphi= constante, e a direção de aumento de \varphi é ortogonal à superfície de \varphi constante.

Passo 10

Resumo final, conexão entre as duas parametrizações e dica rápida para a prova.
  • Relação entre parâmetros: na parametrização cilíndrica r e na esférica \rho temos, na superfície, r=\rho\sin\varphi=\rho\frac{\sqrt{2}}{2}. Assim \rho = r\sqrt{2}. Isso mostra que as duas parametrizações representam a mesma superfície com mudança de parâmetro simples.
  • Dicas para a prova:
    • Sempre que a superfície for do tipo z = \lambda\sqrt{x^2+y^2} procure \varphi tal que \cot\varphi=\lambda (aqui \lambda=1 deu \varphi=\pi/4).
    • Para verificar se vetores são tangentes, calcule as derivadas parciais da parametrização; para normalidade, teste produto escalar com essas derivadas.
    • Lembre que em esféricas \boldsymbol{e}_{\rho},\boldsymbol{e}_{\varphi},\boldsymbol{e}_{\theta} formam base ortonormal (com a convenção usada), então se dois primeiros geram o tangente, o terceiro é normal.

Resposta

(a) \big(r\cos\theta,\; r\operatorname{sen}\theta,\; r\big),\\ (r,\theta)\in[0,\infty)\times[0,2\pi]. Sim, as curvas coordenadas são ortogonais.
(b) \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\big(\rho\cos\theta,\; \rho\operatorname{sen}\theta,\; \rho\big),\\ (\rho,\theta)\in[0,\infty)\times[0,2\pi]. Os vetores \boldsymbol{e}_{\rho} e \boldsymbol{e}_{\theta} são tangentes às curvas coordenadas (respectivamente geratrizes e círculos de interseção) e \boldsymbol{e}_{\varphi} é normal a S.

Exercícios relacionados