Questão 5. Parametrize e esboce as curvas coordenadas:
o cilindro elíptico S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\right\}.
Resposta: (2 \cos \alpha, 3 \operatorname{sen} \alpha, z),(\alpha, z) \in[0,2 \pi] \times \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: parametrizar a superfície e esboçar as curvas coordenadas. As informações dadas são:
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\}.
Lista clara do que precisamos entregar:
  1. Uma parametrização de S — ou seja, uma aplicação que, a partir de dois parâmetros, gere todos os pontos de S.
  2. A descrição (e um esboço mental) das curvas coordenadas associadas a essa parametrização (curvas obtidas mantendo cada parâmetro fixo).

Passo 2

Identificar a seção no plano xy. A equação
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em x igual a 2 e semi-eixo em y igual a 3. A técnica padrão para parametrizar uma elipse é usar funções trigonométricas porque \cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1. Assim, se tomarmos
x=2\cos\alpha,\qquad y=3\sin\alpha,
então, substituindo na equação:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=\frac{(2\cos\alpha)^{2}}{4}+\frac{(3\sin\alpha)^{2}}{9} =\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1,
logo a escolha satisfaz a equação da elipse para todo \alpha.

Passo 3

Introduzir o parâmetro vertical. A equação que define S não envolve z; isso significa que para cada ponto da elipse no plano xy todo valor de z é permitido — a elipse é “extrudida” ao longo do eixo z, formando um cilindro elíptico. Portanto acrescentamos z como segundo parâmetro livre. Uma parametrização conveniente é a aplicação
\mathbf{r}(\alpha,z)=(2\cos\alpha,\;3\sin\alpha,\;z),
com domínio
(\alpha,z)\in[0,2\pi]\times\mathbb{R}.
Aqui \alpha percorre a elipse e z percorre toda a reta vertical. Essa parametrização gera exatamente todos os pontos de S.

Passo 4

Descrever as curvas coordenadas (manter um parâmetro fixo e variar o outro).
  1. Curvas com \alpha fixo. Se \alpha=\alpha_{0} fixo e z varia, a curva é
\mathbf{r}(\alpha_{0},z)=(2\cos\alpha_{0},\;3\sin\alpha_{0},\;z).
É uma reta paralela ao eixo z que passa pelo ponto (2\cos\alpha_{0},3\sin\alpha_{0},0). Em outras palavras, são as geratrizes verticais do cilindro. Exemplos concretos: para \alpha_{0}=0 temos a reta (2,0,z); para \alpha_{0}=\pi/2 temos (0,3,z).
  1. Curvas com z fixo. Se z=z_{0} fixo e \alpha varia, a curva é
\mathbf{r}(\alpha,z_{0})=(2\cos\alpha,\;3\sin\alpha,\;z_{0}).
É a elipse horizontal situada no plano z=z_{0}, mesma elipse que aparece na seção xy. Essas são as “linhas de nível” horizontais do cilindro.

Passo 5

Verificação e interpretação com derivadas parciais (útil na prova para argumentar que os parâmetros dão coordenadas locais válidas). Calculemos os vetores tangentes às curvas coordenadas:
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\alpha}=(-2\sin\alpha,\;3\cos\alpha,\;0), \qquad \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}=(0,\;0,\;1).
Observações importantes:
  • \partial\mathbf{r}/\partial z é o vetor vertical (0,0,1), confirmação de que as curvas com \alpha fixo são retas verticais.
  • \partial\mathbf{r}/\partial\alpha está contido no plano z= constante e é tangente à elipse em cada ponto.
  • Esses vetores são linearmente independentes ( \partial\mathbf{r}/\partial z não é combinação de componentes em x,y), então (\alpha,z) é um bom par de parâmetros locais para a superfície. Além disso
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\alpha}\cdot\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}=0,
logo as curvas coordenadas são ortogonais (as linhas elípticas horizontais são ortogonais às geratrizes verticais).

Passo 6

Como esboçar (descrição passo a passo para desenhar rápido na prova):
  1. Desenhe no plano xy uma elipse centrada na origem com interceptos em x=\pm2 e y=\pm3.
  2. Marque alguns pontos chave: (2,0), (0,3), (-2,0), (0,-3).
  3. A partir de cada ponto trace linhas verticais (para cima e para baixo) — essas são as geratrizes do cilindro.
  4. Para uma fatia horizontal z=z_{0} qualquer, copie a elipse para o plano z=z_{0} — essa será uma curva coordenada horizontal.
    Assim você visualiza tanto a forma do cilindro quanto as duas famílias de curvas coordenadas (verticais e elipses horizontais).

Resposta

\mathbf{r}(\alpha,z)=(2\cos\alpha,\;3\sin\alpha,\;z),\;(\alpha,z)\in[0,2\pi]\times\mathbb{R}

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