Questão 5. Parametrize e esboce as curvas coordenadas:
o cilindro elíptico
.
Resposta:
.
o cilindro elíptico
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: parametrizar a superfície e esboçar as curvas coordenadas. As informações dadas são:
Lista clara do que precisamos entregar:
- Uma parametrização de
— ou seja, uma aplicação que, a partir de dois parâmetros, gere todos os pontos de . - A descrição (e um esboço mental) das curvas coordenadas associadas a essa parametrização (curvas obtidas mantendo cada parâmetro fixo).
Passo 2
Identificar a seção no plano
. A equação
é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo em
igual a
e semi-eixo em
igual a
. A técnica padrão para parametrizar uma elipse é usar funções trigonométricas porque
. Assim, se tomarmos
então, substituindo na equação:
logo a escolha satisfaz a equação da elipse para todo
.
Passo 3
Introduzir o parâmetro vertical. A equação que define
não envolve
; isso significa que para cada ponto da elipse no plano
todo valor de
é permitido — a elipse é “extrudida” ao longo do eixo
, formando um cilindro elíptico. Portanto acrescentamos
como segundo parâmetro livre. Uma parametrização conveniente é a aplicação
com domínio
Aqui
percorre a elipse e
percorre toda a reta vertical. Essa parametrização gera exatamente todos os pontos de
.
Passo 4
Descrever as curvas coordenadas (manter um parâmetro fixo e variar o outro).
- Curvas com
fixo. Se fixo e varia, a curva é
É uma reta paralela ao eixo
que passa pelo ponto
. Em outras palavras, são as geratrizes verticais do cilindro. Exemplos concretos: para
temos a reta
; para
temos
.
- Curvas com
fixo. Se fixo e varia, a curva é
É a elipse horizontal situada no plano
, mesma elipse que aparece na seção
. Essas são as “linhas de nível” horizontais do cilindro.
Passo 5
Verificação e interpretação com derivadas parciais (útil na prova para argumentar que os parâmetros dão coordenadas locais válidas). Calculemos os vetores tangentes às curvas coordenadas:
Observações importantes:
-
é o vetor vertical , confirmação de que as curvas com fixo são retas verticais. -
está contido no plano constante e é tangente à elipse em cada ponto. - Esses vetores são linearmente independentes (
não é combinação de componentes em ), então é um bom par de parâmetros locais para a superfície. Além disso
logo as curvas coordenadas são ortogonais (as linhas elípticas horizontais são ortogonais às geratrizes verticais).
Passo 6
Como esboçar (descrição passo a passo para desenhar rápido na prova):
- Desenhe no plano
uma elipse centrada na origem com interceptos em e . - Marque alguns pontos chave:
, , , . - A partir de cada ponto trace linhas verticais (para cima e para baixo) — essas são as geratrizes do cilindro.
- Para uma fatia horizontal
qualquer, copie a elipse para o plano — essa será uma curva coordenada horizontal.
Assim você visualiza tanto a forma do cilindro quanto as duas famílias de curvas coordenadas (verticais e elipses horizontais).