Questão 3. Considere o parabolóide de revolução S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=x^{2}+y^{2}\right\}. Parametrize S usando coordenadas cilíndricas e esboce as curvas coordenadas. Elas são ortogonais? Resposta: \left(r \cos \theta, r \operatorname{sen} \theta, r^{2}\right),(r, \theta) \in [0, \infty) \times[0,2 \pi]. Sim.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar o parabolóide de revolução
S = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z = x^2 + y^2\bigr\}
usando coordenadas cilíndricas, depois esboçar as curvas coordenadas (isto é, curvas em que uma das variáveis do parâmetro fica constante) e, por fim, verificar se essas curvas se intersectam ortogonalmente. Aqui vamos usar o conceito de parametrização de superfícies e a definição de ortogonalidade via produto escalar dos vetores tangentes.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = r^2.
Logo uma parametrização \sigma(r,\theta) de S é
\sigma(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^2\bigr),
com domínio
(r,\theta)\in [0,\infty)\times[0,2\pi].

Passo 3

As curvas coordenadas são
– Para r=r_0 fixo e \theta variando,
\sigma(r_0,\theta) = \bigl(r_0\cos\theta,\;r_0\sin\theta,\;r_0^2\bigr),
que é um círculo de raio r_0 no plano z=r_0^2.
– Para \theta=\theta_0 fixo e r variando,
\sigma(r,\theta_0) = \bigl(r\cos\theta_0,\;r\sin\theta_0,\;r^2\bigr),
que é uma parábola no plano vertical que faz ângulo \theta_0 com o eixo x.

Passo 4

Para ver se são ortogonais, calculamos os vetores tangentes
\sigma_r = \frac{\partial\sigma}{\partial r} = \bigl(\cos\theta,\;\sin\theta,\;2r\bigr),
\sigma_\theta = \frac{\partial\sigma}{\partial \theta} = \bigl(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0\bigr).
O produto escalar é
\sigma_r\cdot\sigma_\theta = \cos\theta\,(-r\sin\theta) + \sin\theta\,(r\cos\theta) + 2r\cdot 0 = -r\cos\theta\sin\theta + r\sin\theta\cos\theta = 0.
Como o produto escalar é zero em todo ponto, as curvas coordenadas se encontram sempre em ângulo reto.

Passo 5

Concluímos que a parametrização em coordenadas cilíndricas é
\sigma(r,\theta) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^2\bigr), \quad (r,\theta)\in [0,\infty)\times[0,2\pi],
as curvas coordenadas são círculos horizontais ( r= constante) e parábolas verticais ( \theta= constante), e elas são ortogonais em cada ponto de S.

Resposta

\sigma(r,\theta) = (r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^2),\\ (r,\theta)\in[0,\infty)\times[0,2\pi].
Sim, as curvas coordenadas são ortogonais.

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