Questão 3. Considere o parabolóide de revolução
. Parametrize
usando coordenadas cilíndricas e esboce as curvas coordenadas. Elas são ortogonais? Resposta:
. Sim.
Passo 1
O enunciado pede para parametrizar o parabolóide de revolução
usando coordenadas cilíndricas, depois esboçar as curvas coordenadas (isto é, curvas em que uma das variáveis do parâmetro fica constante) e, por fim, verificar se essas curvas se intersectam ortogonalmente. Aqui vamos usar o conceito de parametrização de superfícies e a definição de ortogonalidade via produto escalar dos vetores tangentes.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
Logo uma parametrização
de
é
com domínio
Passo 3
As curvas coordenadas são
– Para fixo e
variando,
– Para
que é um círculo de raio
no plano
.
– Para fixo e
variando,
– Para
que é uma parábola no plano vertical que faz ângulo
com o eixo
.
Passo 4
Para ver se são ortogonais, calculamos os vetores tangentes
O produto escalar é
Como o produto escalar é zero em todo ponto, as curvas coordenadas se encontram sempre em ângulo reto.
Passo 5
Concluímos que a parametrização em coordenadas cilíndricas é
as curvas coordenadas são círculos horizontais (
constante) e parábolas verticais (
constante), e elas são ortogonais em cada ponto de
.
Resposta
Sim, as curvas coordenadas são ortogonais.