Questão 2. Determine uma representação paramétrica para a superfície:
a parte do hiperbolóide x^{2}+y^{2}-z^{2}=1, y \geq 0.
Resposta: x=u, z=v, y=\sqrt{1-u^{2}+v^{2}};

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da parte do hiperbolóide
x^{2}+y^{2}-z^{2}=1
com a restrição y\ge0. Vamos escolher dois parâmetros livres e resolver para a coordenada restante.

Passo 2

Da equação
x^{2}+y^{2}-z^{2}=1
isolamos y^{2}:
y^{2}=1 - x^{2} + z^{2}.
Como queremos a parte com y\ge0, tomamos
y=\sqrt{1 - x^{2} + z^{2}}.

Passo 3

Definimos os parâmetros
x = u, \quad z = v,
onde (u,v) varia no domínio
\{(u,v)\mid 1 - u^{2} + v^{2}\ge0\}.
Substituindo em y, obtemos
y=\sqrt{1 - u^{2} + v^{2}}.

Resposta

Uma parametrização da parte pedida é
\mathbf r(u,v)=\bigl(u,\;\sqrt{1 - u^{2} + v^{2}},\;v\bigr), \quad 1 - u^{2} + v^{2}\ge0.

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