Questão 2 Considere o conjunto
/ 3 p.
B=[ll 1 & 0 0 & 1 ],[ll 0 & 1 1 & 0 ],[ll 2 & 0 0 & 1 ],[ll 0 & 2 1 & 0 ]
(a) Verifique que B é uma base do R-espaço vetorial M2(R).
(b) Encontre as coordenadas da matriz A=[rr12 & 13 9 & 1] em relação a base B.

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto
B=lB1,B2,B3,B4r
em M2(R), onde
B1=1&00&1,; B2=0&11&0,; B3=2&00&1,; B4=0&21&0,
e pede: (a) verificar que B é base de M2(R) e (b) encontrar as coordenadas de
A=tfrac12&139&1
na base B.
Conteúdo: espaço vetorial de matrizes 2times2 tem dimensão 4; basta mostrar que B é LI (ou gera) em M2(R).

Passo 2

Para checar linearidade, fazemos a combinação linear nula:
c1B1+c2B2+c3B3+c4B4 = c1+2c3&c2+2c4 c2+c4&c1+c3 ;=;0&00&0
Isso gera o sistema
c1+2c3=0, c2+2c4=0, c2+c4=0, c1+c3=0

Passo 3

Resolvendo o sistema: da terceira equação c2=-c4. Substituindo na segunda, -c4+2c4=0 c4=0 e então c2=0. Da quarta equação c1=-c3. Na primeira, -c3+2c3=0 implica c3=0 e c1=0. Logo, só existe a solução trivial c1=c2=c3=c4=0, o que prova que B é LI e portanto, por ter quatro vetores num espaço de dimensão quatro, é base de M2(R).

Passo 4

Para achar coordenadas de em , buscamos tais que
Isto leva ao sistema

Passo 5

Da terceira equação b=9-d. Substituindo na segunda, 9-d+2d=13 d=4 e b=5. Da quarta, a=1-c. Substituindo na primeira, 1-c+2c=tfrac12 c=-tfrac12 e a=1-(-tfrac12)=tfrac32.

Resposta

As coordenadas de A na base B são
l[a,b,c,dr]=l[tfrac32,;5,;-tfrac12,;4r]

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