A reta r passa pelo ponto A(1,-1,2) e tem vetor diretor v=(2,1,-3). Encontre os pontos em que a reta intersecta os planos coordenados x y, x z e y z.

Passo 1

O enunciado dá uma reta r que passa por A(1,-1,2) e tem vetor diretor v=(2,1,-3). Queremos os pontos em que r corta cada um dos planos coordenados, isto é, o plano xy (onde z=0), o plano xz (onde y=0) e o plano yz (onde x=0). Para isso, vamos obter a equação paramétrica da reta e, em seguida, impor a condição do plano para achar o parâmetro t e o ponto de interseção.

Passo 2

A equação paramétrica de r com parâmetro t é
r:;(x,y,z) = (1,-1,2) + t,(2,1,-3)
Ou seja,
x = 1 + 2t, y = -1 + t, z = 2 - 3t

Passo 3

Intersecção com o plano xy. Impomos z=0:
2 - 3t = 0 Longrightarrow t = tfrac23
Substituindo em x e y:
x = 1 + 2cdottfrac23 = tfrac73, y = -1 + tfrac23 = -tfrac13
Logo o ponto é l(tfrac73,-tfrac13,0r).

Passo 4

Intersecção com o plano xz. Impomos y=0:
-1 + t = 0 Longrightarrow t = 1
Substituindo em x e z:
x = 1 + 2cdot1 = 3, z = 2 - 3cdot1 = -1
Logo o ponto é (3,0,-1).

Passo 5

Intersecção com o plano yz. Impomos x=0:
1 + 2t = 0 Longrightarrow t = -tfrac12
Substituindo em y e z:
y = -1 + l(-tfrac12r) = -tfrac32, z = 2 - 3l(-tfrac12r) = tfrac72
Logo o ponto é l(0,-tfrac32,tfrac72r).

Resposta

O ponto de interseção com o plano xy é l(tfrac73,-tfrac13,0r).
O ponto de interseção com o plano xz é (3,0,-1).
O ponto de interseção com o plano yz é l(0,-tfrac32,tfrac72r).

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