Questão 1 Seja
/1p.
W=a+b t+c t^2 in P2(R) mid c neq 0 cup0
isto é, W é o conjunto de todos os polinômios de grau (exatamente) igual a 2, acrescido do polinômio nulo. Defina em W as operações usuais de adição de polinômios e de multiplicação de polinômio por escalar. Verifique se W é um subespaço vetorial de P2(R).

Passo 1

O enunciado define
W = ,a + b,t + c,t^2 in P2(R) mid c neq 0;cup;0
Queremos ver se W é um subespaço de P2(R), ou seja, verificar se em W existe o vetor zero, se vale fechamento em soma e em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o polinômio nulo 0 está explicitamente em W pela união com 0. Logo, o zero de P2(R) pertence a W.

Passo 3

Tomemos um escalar lambdainR e um polinômio p(t)=a+b,t+c,t^2in W com cneq0. Então
lambda,p(t) = lambda a + lambda b,t + (lambda c),t^2
Se lambda=0, obtém-se o polinômio zero que também está em W. Se lambdaneq0, então lambda cneq0 e lambda p(t) continua tendo coeficiente de t^2 não nulo, logo lambda p(t)in W. Portanto, W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 4

Para testar fechamento em soma, escolhemos
p(t) = t^2, q(t) = -t^2 + 1
Em ambos, o coeficiente de t^2 é não nulo ( 1 e -1 respectivamente), então p,qin W. Porém
p(t)+q(t) = l(t^2r) + l(-t^2 + 1r) = 1,
que é o polinômio constante 1. Esse polinômio não é o zero e tem coeficiente de t^2 igual a zero, portanto não pertence a W. Assim, W não é fechado sob soma.

Resposta

W não é subespaço vetorial de P2(R).

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