Questão 1 Seja
/1p.
isto é,
é o conjunto de todos os polinômios de grau (exatamente) igual a 2, acrescido do polinômio nulo. Defina em
as operações usuais de adição de polinômios e de multiplicação de polinômio por escalar. Verifique se
é um subespaço vetorial de
.
/1p.
Passo 1
O enunciado define
Queremos ver se
é um subespaço de
, ou seja, verificar se em
existe o vetor zero, se vale fechamento em soma e em multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o polinômio nulo
está explicitamente em
pela união com
. Logo, o zero de
pertence a
.
Passo 3
Tomemos um escalar
e um polinômio
com
. Então
Se
, obtém-se o polinômio zero que também está em
. Se
, então
e
continua tendo coeficiente de
não nulo, logo
. Portanto,
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 4
Para testar fechamento em soma, escolhemos
Em ambos, o coeficiente de
é não nulo (
e
respectivamente), então
. Porém
que é o polinômio constante
. Esse polinômio não é o zero e tem coeficiente de
igual a zero, portanto não pertence a
. Assim,
não é fechado sob soma.