Dado um vetor v=(x, y), escreva-o como combinação linear dos vetores v1=(1,1) e v2=(1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor (x,y) como combinação linear dos vetores (1,1) e (1,-1). Isso significa encontrar escalares a e b tais que
(x,y)=a,(1,1)+b,(1,-1)
Vamos usar a definição de combinação linear e resolver o sistema que surge ao igualar componentes.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando componente a componente, temos
a,(1,1)+b,(1,-1)=(a+b,;a-b)
e queremos que isso seja igual a (x,y). Logo surgem as equações
a + b = x, a - b = y

Passo 3

Para encontrar a e b resolvemos o sistema: somando as duas equações,
(a+b)+(a-b)=x+y Longrightarrow 2a = x+y Longrightarrow a = x+y2
Subtraindo a segunda equação da primeira,
(a+b)-(a-b)=x-y Longrightarrow 2b = x-y Longrightarrow b = x-y2

Passo 4

Substituindo a e b na combinação linear, concluímos que
(x,y) =x+y2,(1,1) +x-y2,(1,-1)

Resposta

(x,y) =x+y2,v1 +x-y2,v2

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