Questão 2: Considere o conjunto beta=(rr-1 & 0 2 & 0),(rr0 & 1 0 & -1),(ll0 & 0 2 & 0),(ll0 & 1 0 & 0).
(a) (15 pontos) Mostre que beta gera o espaço vetorial M2(R).
(b) (15 pontos) beta é uma base de M2(R) ?

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto
beta = lA1,,A2,,A3,,A4r
em M2(R), onde
A1 = -1 & 0 [6pt]2 & 0, A2 = 0 & 1 [6pt]0 & -1, A3 = 0 & 0 [6pt]2 & 0, A4 = 0 & 1 [6pt]0 & 0
Precisamos mostrar que (a) beta gera todo o espaço M2(R) e (b) determinar se beta é base. Lembrando que dim M2(R)=4.]

Passo 2

Para ver que
e tentemos encontrar escalares tais que
Calculando a combinação à esquerda:
Igualando coordenadas a obtemos o sistema
Dessa forma
Como existe solução para quaisquer gera .]

Passo 3

Para verificar se beta é base, basta notar que já temos quatro vetores em um espaço de dimensão 4 que geram. Logo, eles formam um sistema gerador com o mesmo número de vetores que a dimensão do espaço, o que implica automaticamente independência linear. Alternativamente, poderíamos fazer uma combinação linear igual a zero e checar que todos os lambdai devem ser zero, chegando ao mesmo resultado.

Resposta

(a) beta gera M2(R).
(b) Sim. Como beta tem 4 vetores (igual à dim M2(R)) e gera o espaço, segue que beta é uma base de M2(R).

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