Precisamos mostrar que (a) beta gera todo o espaço M2(R) e (b) determinar se beta é base. Lembrando que dim M2(R)=4.]
Passo 2
Para ver que
e tentemos encontrar escalares tais que
Calculando a combinação à esquerda:
Igualando coordenadas a obtemos o sistema
Dessa forma
Como existe solução para quaisquer gera .]
Passo 3
Para verificar se beta é base, basta notar que já temos quatro vetores em um espaço de dimensão 4 que geram. Logo, eles formam um sistema gerador com o mesmo número de vetores que a dimensão do espaço, o que implica automaticamente independência linear. Alternativamente, poderíamos fazer uma combinação linear igual a zero e checar que todos os lambdai devem ser zero, chegando ao mesmo resultado.
Resposta
(a) beta gera M2(R).
(b) Sim. Como beta tem 4 vetores (igual à dim M2(R)) e gera o espaço, segue que beta é uma base de M2(R).