Questão 1: Considere o seguinte subconjunto de M2(R) :
W=(ll a & b c & d ) in M2(R) ; a-2 b=0 c d=0
(a) (15 pontos) Mostre que W é um subespaço vetorial de M2(R).
(b) (15 pontos) Encontre uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado define
Queremos (a) mostrar que é subespaço vetorial de e (b) encontrar uma base e a dimensão de . Para isso, vamos usar a definição de subespaço (contém o vetor zero, fechado sob soma e produto escalar) e depois expressar um elemento genérico de em termos de parâmetros livres para extrair uma base.

Passo 2

Mostramos que a matriz zero está em W. Tomando a=b=c=d=0 temos
a-2b = 0-2cdot0 = 0, d=0,
logo 0&00&0in W.

Passo 3

Verificamos a estabilidade de sob soma. Se
são de , então e para . Logo
satisfaz
e
portanto .

Passo 4

Verificamos a estabilidade sob produto escalar. Se e , então
satisfaz
e
logo . Assim é subespaço de .

Passo 5

Para descrever de forma paramétrica, note que implica e . Então toda matriz em é
com .

Passo 6

Da expressão acima vemos que
v1 = 2&10&0, v2 = 0&01&0
geram W. São linearmente independentes porque a combinação
alpha v1+beta v2=0 força alpha=0 e beta=0. Portanto v1,v2 é base de W e
dim W = 2

Resposta

Uma base de W é
2&10&0,;0&01&0,
e dim W = 2.

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