Questão 1: Considere o seguinte subconjunto de
:
(a) (15 pontos) Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
(b) (15 pontos) Encontre uma base e a dimensão de W.
(b) (15 pontos) Encontre uma base e a dimensão de W.
Passo 1
O enunciado define
Queremos (a) mostrar que
é subespaço vetorial de
e (b) encontrar uma base e a dimensão de
. Para isso, vamos usar a definição de subespaço (contém o vetor zero, fechado sob soma e produto escalar) e depois expressar um elemento genérico de
em termos de parâmetros livres para extrair uma base.
Passo 2
Mostramos que a matriz zero está em
. Tomando
temos
logo
.
Passo 3
Verificamos a estabilidade de
sob soma. Se
são de
, então
e
para
. Logo
satisfaz
e
portanto
.
Passo 4
Verificamos a estabilidade sob produto escalar. Se e
, então
satisfaz
e
logo
. Assim
é subespaço de
.
Passo 5
Para descrever
de forma paramétrica, note que
implica
e
. Então toda matriz em
é
com
.
Passo 6
Da expressão acima vemos que
geram
. São linearmente independentes porque a combinação
força
e
. Portanto
é base de
e
Resposta
Uma base de
é
e
.