Questão 5 Considere o corpo dos reais.
Qual a representação do polinômio p=(x-2)^2 na base H=1,1+x, 1+x+x^2 ?

Passo 1

O enunciado pede para expressar o polinômio
p(x)=(x-2)^2
no espaço dos polinômios de grau <=2 sobre R, usando a base
H=,1,;1+x,;1+x+x^2
Para isso, vamos expandir p(x) e procurar escalares alpha,beta,gamma tais que
p(x)=alphacdot1+beta,(1+x)+gamma,(1+x+x^2)

Passo 2

Expandindo p(x) e a combinação em H temos
p(x)=x^2-4x+4,
alphacdot1+beta,(1+x)+gamma,(1+x+x^2) =(alpha+beta+gamma)+(beta+gamma),x+gamma,x^2

Passo 3

Igualando coeficientes com x^2-4x+4:
coeficiente de x^2: gamma=1,
coeficiente de x: beta+gamma=-4 implies beta=-5,
termo constante: alpha+beta+gamma=4 implies alpha=8.

Resposta

[p]H=(8,-5,1).

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