Questão 5 Considere o corpo dos reais.
Sabe-se que os vetores u=(1,2) e v=(-1,1) são representados na base G por u=(2,3)G e v=(1,3)G. Determine G.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base G de R^2 tal que, nessa base, os vetores
,u=(1,2) e v=(-1,1) tenham coordenadas
u = (2,3)G e v = (1,3)G
O conteúdo aqui é a definição de forma de coordenadas de um vetor em relação a uma base e a resolução de um sistema linear.

Passo 2

Seja G=g1,g2 com
g1=(a,b), g2=(c,d)
Pela definição de coordenadas, temos
2g1 + 3g2 = u = (1,2),
1g1 + 3g2 = v = (-1,1)

Passo 3

Escrevendo essas igualdades em coordenadas, obtemos o sistema
2a + 3c = 1, 2b + 3d = 2, a + 3c = -1, b + 3d = 1

Passo 4

Subtraindo as equações correspondentes, de cada par, temos
da composição em x:
(2a+3c)-(a+3c)=1-(-1) ;Rightarrow; a=2,
e então
2+3c=-1 ;Rightarrow; c=-1
Análogo em y:
(2b+3d)-(b+3d)=2-1 ;Rightarrow; b=1,
e depois
1+3d=1 ;Rightarrow; d=0
Logo
g1 = (2,1), g2 = (-1,0)

Resposta

G = (2,1),,(-1,0)

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