Verifique quais dos subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço
(considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
e
Passo 1
O enunciado pede para checar se
é subespaço de
com as operações usuais, e se for, determinar
. Para isso a teoria diz que basta verificar que
contém o vetor zero, é fechado em soma e em multiplicação por escalar.
Passo 2
Resolvendo as equações
vemos que
e
, logo
Passo 3
Vetor zero: escolhendo
obtemos
, então
não está vazio e contém o zero de
.
Passo 4
Fechamento em soma: se
e
estão em
, então
pois é da forma
.
Passo 5
Fechamento em escalar: para
e
vale
Assim,
é subespaço de
.
Passo 6
Para achar a dimensão note que
é parametrizado por um único parâmetro
. Uma base é
logo