Verifique quais dos subconjuntos W abaixo são subespaços vetoriais reais do espaço V (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
V=R^3 ; W=(x, y, z) in V ; x-y=0 e y-z=0

Passo 1

O enunciado pede para checar se
W=(x,y,z)inR^3 mid x - y = 0,;y - z = 0
é subespaço de V=R^3 com as operações usuais, e se for, determinar dim W. Para isso a teoria diz que basta verificar que W contém o vetor zero, é fechado em soma e em multiplicação por escalar.

Passo 2

Resolvendo as equações
x - y = 0, y - z = 0
vemos que x=y e y=z, logo
W = (t,t,t)mid tinR

Passo 3

Vetor zero: escolhendo t=0 obtemos (0,0,0)in W, então W não está vazio e contém o zero de R^3.

Passo 4

Fechamento em soma: se (t,t,t) e (s,s,s) estão em W, então
(t,t,t)+(s,s,s) = (t+s,,t+s,,t+s)in W
pois é da forma (t+s, t+s, t+s).

Passo 5

Fechamento em escalar: para alphainR e (t,t,t)in W vale
alpha,(t,t,t) = (alpha t,alpha t,alpha t)in W
Assim, W é subespaço de R^3.

Passo 6

Para achar a dimensão note que W é parametrizado por um único parâmetro t. Uma base é
(1,1,1),
logo
dim W = 1

Resposta

W é subespaço de R^3 e dim W = 1.

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