Questão 4 Verifique se os subconjuntos W abaixo são subspaços vetoriais de V. Caso afirmativo, determine uma base (se não houver base, apenas diga “não há base”). Caso negativo dê um contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
V=M2 times 2(R), W=(ai j) in V; ai j=0, se i+j=3.

Passo 1

O enunciado diz que V=M2times2(R) e
W=(aij)in Vmid aij=0 se i+j=3.
Isso significa que em qualquer matriz de W as entradas (1,2) e (2,1) são zero.
Vamos verificar se W é subespaço de V e, em caso afirmativo, achar uma base.

Passo 2

Para mostrar que W é subespaço basta ver que a matriz zero está em W e que, se A,Bin W e lambdainR, então em A+B e lambda A as posições (1,2) e (2,1) continuam valendo zero. Logo W é fechado em soma e escalar, portanto é subespaço de V.

Passo 3

Uma matriz genérica em W tem a forma
a11&0[6pt] 0&a22
com a11,a22inR. Assim W é isomorfo a R^2.]

Passo 4

Os parâmetros livres são a11 e a22, e podemos escrever
a11&0 0&a22 = a111&00&0 + a220&00&1
Portanto os vetores
E11 = 1&00&0, E22 = 0&00&1
formam uma base de W.

Resposta

Sim, W é subespaço de V.
Uma base de W é
l, 1&00&0, 0&00&1 r

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