QUESTÃO 2

Considere a curva polar
r=\theta^{2}, \quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi .
O comprimento exato dessa curva é:
(A) \frac{4}{3}\left[\left(\pi^{2}+1\right)^{3 / 2}-1\right]
(B) \frac{8}{3}\left[\left(\pi^{2}+1\right)^{3 / 2}-1\right]
(C) \frac{8}{3}\left(\pi^{2}+1\right)^{3 / 2}
(D) \frac{1}{3}\left[\left(4 \pi^{2}+4\right)^{3 / 2}-4\right]
(E) 2\left(\pi^{2}+1\right)^{3 / 2}-2

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A curva está em coordenadas polares e é dada por r=\theta^{2} com 0 \le \theta \le 2\pi.
  • O que pedem: o comprimento exato dessa curva (uma única quantidade), e na prova há alternativas dadas.
  • Informação útil a ser usada: fórmula do comprimento de uma curva em coordenadas polares (que vamos lembrar no próximo passo).

Passo 2

Lembrando e explicando a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares.
  • Para uma curva em coordenadas polares dada por r=r(\theta) com \theta variando de \alpha a \beta, o comprimento L é dado por
L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r(\theta)^{2}+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^{2}}\;d\theta.
  • Intuição simples: a razão é que em coordenadas polares o elemento de arco diferencial é \sqrt{(dr)^{2}+(r\,d\theta)^{2}}. Dividindo por d\theta e passando para a forma integral obtém-se a fórmula acima. Aqui r(\theta) é a distância ao polo em função do ângulo e \dfrac{dr}{d\theta} é a taxa de variação radial por unidade de ângulo.

Passo 3

Calcular dr/d\theta para a função dada e montar o integrando.
  • Dado r(\theta)=\theta^{2}. Então
\frac{dr}{d\theta}=2\theta.
  • Substituindo na fórmula do comprimento:
L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(\theta^{2})^{2}+(2\theta)^{2}}\;d\theta =\int_{0}^{2\pi}\sqrt{\theta^{4}+4\theta^{2}}\;d\theta.

Passo 4

Simplificar a raiz usando fator comum e observar o sinal para \theta no intervalo.
  • Note que \theta^{4}+4\theta^{2}=\theta^{2}(\theta^{2}+4).
  • Para 0\le \theta\le 2\pi temos \theta\ge 0, então \sqrt{\theta^{2}}=\theta. Assim
\sqrt{\theta^{4}+4\theta^{2}}=\sqrt{\theta^{2}(\theta^{2}+4)}=\theta\sqrt{\theta^{2}+4}.
  • Logo o integral fica
L=\int_{0}^{2\pi}\theta\sqrt{\theta^{2}+4}\;d\theta.

Passo 5

Resolver o integral usando substituição apropriada.
  • Use a substituição u=\theta^{2}+4. Então du=2\theta\,d\theta, ou seja \theta\,d\theta=\dfrac{du}{2}.
  • Limites de integração: quando \theta=0 temos u=0^{2}+4=4. Quando \theta=2\pi temos u=(2\pi)^{2}+4=4\pi^{2}+4=4(\pi^{2}+1).
  • Substituindo no integral:
L=\int_{u=4}^{u=4(\pi^{2}+1)}\sqrt{u}\;\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int_{4}^{4(\pi^{2}+1)}u^{1/2}\;du.
  • Calcule o primitive: \displaystyle \int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}. Então
L=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_{4}^{4(\pi^{2}+1)}=\frac{1}{3}\Bigl(u^{3/2}\Bigr)\Big|_{4}^{4(\pi^{2}+1)}.

Passo 6

Avaliar a expressão e simplificar para comparar com as alternativas.
  • Avaliando:
L=\frac{1}{3}\Bigl(\bigl(4(\pi^{2}+1)\bigr)^{3/2}-4^{3/2}\Bigr).
  • Observe que 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8 e \bigl(4(\pi^{2}+1)\bigr)^{3/2}=4^{3/2}(\pi^{2}+1)^{3/2}=8(\pi^{2}+1)^{3/2}.
  • Assim
L=\frac{1}{3}\Bigl(8(\pi^{2}+1)^{3/2}-8\Bigr)=\frac{8}{3}\Bigl((\pi^{2}+1)^{3/2}-1\Bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}\bigl[(\pi^{2}+1)^{3/2}-1\bigr]

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