QUESTÃO 2
Considere a curva polar
O comprimento exato dessa curva é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A curva está em coordenadas polares e é dada por
com . - O que pedem: o comprimento exato dessa curva (uma única quantidade), e na prova há alternativas dadas.
- Informação útil a ser usada: fórmula do comprimento de uma curva em coordenadas polares (que vamos lembrar no próximo passo).
Passo 2
Lembrando e explicando a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares.
- Para uma curva em coordenadas polares dada por
com variando de a , o comprimento é dado por
- Intuição simples: a razão é que em coordenadas polares o elemento de arco diferencial é
. Dividindo por e passando para a forma integral obtém-se a fórmula acima. Aqui é a distância ao polo em função do ângulo e é a taxa de variação radial por unidade de ângulo.
Passo 3
Calcular
para a função dada e montar o integrando.
- Dado
. Então
- Substituindo na fórmula do comprimento:
Passo 4
Simplificar a raiz usando fator comum e observar o sinal para
no intervalo.
- Note que
. - Para
temos , então . Assim
- Logo o integral fica
Passo 5
Resolver o integral usando substituição apropriada.
- Use a substituição
. Então , ou seja . - Limites de integração: quando
temos . Quando temos . - Substituindo no integral:
- Calcule o primitive:
. Então
Passo 6
Avaliar a expressão e simplificar para comparar com as alternativas.
- Avaliando:
- Observe que
e . - Assim