Questão 4) Considere um conjunto de consumo com três bens, cujo consumidor possua uma função de utilidade do tipo Stone-Geary, isto é:
. Onde
representam a quantidade mínima consumida dos bens 1 , 2 e 3 para ele se manter vivo (por exemplo: calorias, água e abrigo).
a) Encontre a função de demanda Walrasiana e a função de utilidade indireta. (Valor: 1,0 ).
a) Encontre a função de demanda Walrasiana e a função de utilidade indireta. (Valor: 1,0 ).
Passo 1
O enunciado dá uma utilidade do tipo Stone–Geary
com
e orçamento
Queremos (i) as demandas Walrasianas
e (ii) a utilidade indireta
.
Passo 2
Definimos variáveis de “superávit”
de modo que a utilidade vira
e a restrição orçamental
Passo 3
Usamos Lagrange para maximizar
Passo 4
As condições de primeira ordem dão, para cada
:
onde
,
,
.
Somando resulta
Somando
Passo 5
Logo as quantidades de superávit são
e as demandas Walrasianas
Passo 6
Para obter a utilidade indireta, substituímos
em
Portanto
Resposta
As demandas Walrasianas são
e a utilidade indireta é