Questão 4) Considere um conjunto de consumo com três bens, cujo consumidor possua uma função de utilidade do tipo Stone-Geary, isto é: u(x)=\left(x_{1}-b_{1}\right)^{\alpha}\left(x_{2}-b_{2}\right)^{\beta}\left(x_{3}-b_{3}\right)^{\gamma}. Onde b_{1}, b_{2}, b_{3}>0 representam a quantidade mínima consumida dos bens 1 , 2 e 3 para ele se manter vivo (por exemplo: calorias, água e abrigo).
a) Encontre a função de demanda Walrasiana e a função de utilidade indireta. (Valor: 1,0 ).

Passo 1

O enunciado dá uma utilidade do tipo Stone–Geary
u(x)=\bigl(x_{1}-b_{1}\bigr)^{\alpha}\bigl(x_{2}-b_{2}\bigr)^{\beta}\bigl(x_{3}-b_{3}\bigr)^{\gamma}
com b_{i}>0 e orçamento
\sum_{i=1}^{3}p_{i}x_{i}=m.
Queremos (i) as demandas Walrasianas x_{i}(p,m) e (ii) a utilidade indireta v(p,m).

Passo 2

Definimos variáveis de “superávit”
y_{i}=x_{i}-b_{i},\quad y_{i}\ge0,
de modo que a utilidade vira
u(y)=y_{1}^{\alpha}\,y_{2}^{\beta}\,y_{3}^{\gamma},
e a restrição orçamental
\sum_{i=1}^{3}p_{i}(y_{i}+b_{i})=m \quad\Longrightarrow\quad \sum_{i=1}^{3}p_{i}y_{i}=m-\sum_{i=1}^{3}p_{i}b_{i}\equiv M'.

Passo 3

Usamos Lagrange para maximizar
\mathcal{L} =\alpha\ln y_{1}+\beta\ln y_{2}+\gamma\ln y_{3} +\lambda\Bigl(M'-\sum_{i=1}^{3}p_{i}y_{i}\Bigr).

Passo 4

As condições de primeira ordem dão, para cada i:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y_{i}} =\frac{\textstyle \alpha_{i}}{y_{i}}-\lambda p_{i}=0 \quad\Longrightarrow\quad y_{i}=\frac{\alpha_{i}}{\lambda\,p_{i}},
onde \alpha_{1}=\alpha, \alpha_{2}=\beta, \alpha_{3}=\gamma.
Somando \sum p_{i}y_{i}=M' resulta
\sum_{i=1}^{3}p_{i}\frac{\alpha_{i}}{\lambda\,p_{i}} =\frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^{3}\alpha_{i} =\frac{\alpha+\beta+\gamma}{\lambda} = M' \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{M'}.

Passo 5

Logo as quantidades de superávit são
y_{i} =\frac{\alpha_{i}}{p_{i}}\, \frac{M'}{\alpha+\beta+\gamma},
e as demandas Walrasianas
x_{i}(p,m) =b_{i}+y_{i} =b_{i} +\frac{\alpha_{i}}{\alpha+\beta+\gamma} \frac{\,m-\sum_{j=1}^3p_{j}b_{j}\,}{p_{i}}.

Passo 6

Para obter a utilidade indireta, substituímos y_{i} em
u(y)=\prod_{i=1}^3 y_{i}^{\alpha_{i}} \;=\;\prod_{i=1}^3 \Biggl(\frac{\alpha_{i}}{p_{i}}\, \frac{M'}{\alpha+\beta+\gamma}\Biggr)^{\!\alpha_{i}}.
Portanto
v(p,m) =\prod_{i=1}^3 \Biggl(\frac{\alpha_{i}}{\alpha+\beta+\gamma} \frac{\,m-\sum_{j}p_{j}b_{j}\,}{p_{i}}\Biggr)^{\!\alpha_{i}}.

Resposta

As demandas Walrasianas são
x_{i}(p,m) =b_{i} +\frac{\alpha_{i}}{\alpha+\beta+\gamma} \;\frac{m-\sum_{j=1}^{3}p_{j}b_{j}}{p_{i}}, \quad i=1,2,3,
e a utilidade indireta é
v(p,m) =\prod_{i=1}^{3} \Biggl(\frac{\alpha_{i}}{\alpha+\beta+\gamma} \frac{\,m-\sum_{j=1}^{3}p_{j}b_{j}\,}{p_{i}}\Biggr)^{\!\alpha_{i}}.

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