QUESTÃO 2: Considere duas ondas progressivas que são descritas, no sistema internacional de unidades (S.I.), por:
y1(x, t)=raiz36 sen[pi(5 x-200 t)] e y2(x, t)=raiz36 sen[pi(5 x-200 t)+pi / 3]
Sabe-se que, quando estas duas ondas são combinadas, a interferência entre elas produz uma onda progressiva resultante y(x, t). Com base nestas informações e expressando seus resultados no sistema S.I., calcule:
(a) (1,5) A expressão da onda resultante y(x, t).
(b) (1,0) O valor do produto entre o comprimento de onda e a amplitude da onda resultante.
(c) (1,0) A velocidade da onda resultante.
Dado : sen alpha+sen beta=2 cos [12(alpha-beta)] sen[12(alpha+beta)].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas ondas progressivas descritas por funções seno. O conteúdo aqui é sobre interferência de ondas, ou seja, como duas ondas se combinam para formar uma onda resultante. Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que ajuda a somar duas funções seno. Nosso objetivo é:
  • (a) Encontrar a expressão da onda resultante y(x, t) .
  • (b) Calcular o produto entre o comprimento de onda e a amplitude da onda resultante.
  • (c) Determinar a velocidade da onda resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): encontrar a expressão da onda resultante y(x, t) . Temos as duas ondas:
y1(x, t) = raiz36 sin[pi(5x - 200t)]
y2(x, t) = raiz36 sin[pi(5x - 200t) + pi3]
Queremos somar essas duas ondas: y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) .

Passo 3

Para somar as duas ondas, vamos usar a identidade trigonométrica dada:
sin alpha + sin beta = 2 cos(alpha - beta2) sin(alpha + beta2)
Aqui, podemos identificar:
alpha = pi(5x - 200t)
beta = pi(5x - 200t) + pi3

Passo 4

Aplicando a identidade:
y(x, t) = y1 + y2 = raiz36 sin alpha + raiz36 sin beta = raiz36 (sin alpha + sin beta)
Substituindo pela identidade:
y(x, t) = raiz36 times 2 cos(alpha - beta2) sin(alpha + beta2)
Simplificando:
y(x, t) = raiz33 cos(-pi32) sin(2pi(5x - 200t) + pi32)

Passo 5

Vamos simplificar os argumentos das funções cosseno e seno:
alpha - beta2 = pi(5x - 200t) - [pi(5x - 200t) + pi3]2 = -pi32 = -pi6
alpha + beta2 = pi(5x - 200t) + pi(5x - 200t) + pi32 = 2pi(5x - 200t) + pi32 = pi(5x - 200t) + pi6
Agora, substituindo de volta:
y(x, t) = raiz33 cos(-pi6) sin(pi(5x - 200t) + pi6)
Como o cosseno é uma função par ( cos(-theta) = cos theta ), temos:
cos(-pi6) = cos(pi6) = raiz32
Então:
y(x, t) = raiz33 times raiz32 sin(pi(5x - 200t) + pi6)
Multiplicando os coeficientes:
raiz33 times raiz32 = 36 = 12

Resposta

A expressão da onda resultante y(x, t) é:
y(x, t) = 12 sin[pi(5x - 200t) + pi6]

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