Questão 5:
Considere a EDO dada por
x y^{\prime}+y^{\prime}-4 y=0
Conclua que
x_{0}=0
é um ponto singular regular. Assim sendo, o teorema de
Frobenius garante que existe uma solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+r}
em que
r \in \mathbb{R}
. Utilize esse resultado para encontrar a solução geral dessa EDO.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x\,y' + y' - 4y = 0
e afirma que x_{0}=0 é um ponto singular regular. Pelo teorema de Frobenius existe uma solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n+r},
com r\in\mathbb{R}. Nosso objetivo é usar esse ansatz para determinar r, os coeficientes a_{n} e, por fim, escrever a solução geral.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a EDO de modo a evidenciar o comportamento em x=0. Fatorando y':
(x+1)\,y' \;-\;4\,y=0.
Para verificar que x=0 é singular regular, dividimos por x:
y' + \frac{1}{x}\,y' - \frac{4}{x}\,y = 0.
As funções \frac{1}{x} e \frac{4}{x} têm pólo de ordem no máximo 1 em x=0, logo é singular regular e podemos aplicar Frobenius.

Passo 3

Adotamos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n+r}, \qquad y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)\,a_{n}\,x^{n+r-1}.
Substituindo em (x+1)y'-4y=0:
\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_{n}\,x^{n+r} +\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)a_{n}\,x^{n+r-1} -4\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n+r} =0.
Separamos o termo de menor potência x^{r-1} e depois agrupamos os demais em potências x^{n+r}.

Passo 4

O termo em x^{r-1} vem só da segunda soma quando n=0, dando
r\,a_{0}\,x^{r-1}=0 \quad\Longrightarrow\quad r\,a_{0}=0.
Como queremos solução não trivial a_{0}\neq0, concluímos r=0. Para n\ge0, coletando coeficientes de x^{n+r}=x^{n} obtemos a recorrência
(n+1+r)\,a_{n+1} + (n+r-4)\,a_{n}=0.
Com r=0, isso vira
(n+1)\,a_{n+1} + (n-4)\,a_{n}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+1} = \frac{4-n}{n+1}\;a_{n}.

Passo 5

Começando em n=0:
a_{1} = \frac{4-0}{1}\,a_{0}=4a_{0}, \quad a_{2} = \frac{4-1}{2}\,a_{1}=\frac{3}{2}\cdot4a_{0}=6a_{0},
a_{3} = \frac{4-2}{3}\,a_{2}=\frac{2}{3}\cdot6a_{0}=4a_{0}, \quad a_{4} = \frac{4-3}{4}\,a_{3}=\frac{1}{4}\cdot4a_{0}=a_{0},
a_{5} = \frac{4-4}{5}\,a_{4}=0.
Daí todos os a_{n} para n\ge5 são zero: a série termina em n=4.

Passo 6

A solução em série fica
y(x)=a_{0}\bigl(1 + 4x + 6x^{2}+4x^{3}+x^{4}\bigr) =a_{0}\,(1+x)^{4}.
Como a EDO é de primeira ordem, essa é a família geral de soluções, com uma constante livre a_{0}.

Resposta

y(x)=C\,(1+x)^{4},\quad C\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados