Questão 5:
Considere a EDO dada por
Conclua que
é um ponto singular regular. Assim sendo, o teorema de
Frobenius garante que existe uma solução da forma
em que
. Utilize esse resultado para encontrar a solução geral dessa EDO.
Conclua que
Frobenius garante que existe uma solução da forma
em que
. Utilize esse resultado para encontrar a solução geral dessa EDO.
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e afirma que
é um ponto singular regular. Pelo teorema de Frobenius existe uma solução da forma
com
. Nosso objetivo é usar esse ansatz para determinar
, os coeficientes
e, por fim, escrever a solução geral.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a EDO de modo a evidenciar o comportamento em
. Fatorando
:
Para verificar que
é singular regular, dividimos por
:
As funções
e
têm pólo de ordem no máximo 1 em
, logo é singular regular e podemos aplicar Frobenius.
Passo 3
Adotamos
Substituindo em
:
Separamos o termo de menor potência
e depois agrupamos os demais em potências
.
Passo 4
O termo em
vem só da segunda soma quando
, dando
Como queremos solução não trivial
, concluímos
Para
, coletando coeficientes de
obtemos a recorrência
Com
, isso vira
Passo 5
Começando em
:
Daí todos os
para
são zero: a série termina em
.
Passo 6
A solução em série fica
Como a EDO é de primeira ordem, essa é a família geral de soluções, com uma constante livre
.