Resolva a EDO dada por
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+\frac{2}{9 x^{2}} y=0
e assinale a alternativa CORRETA:
x=0 é ponto singular irregular e a solução é dada
y(x)=c_{1} x^{\frac{2}{3}}\left(1-\frac{1}{2} x+\frac{5}{28} x^{2}-\frac{1}{21} x^{3}+\ldots\right)+c_{2} x^{\frac{1}{3}}\left(1-\frac{1}{2} x+\frac{1}{5} x^{2}-\frac{7}{12} x^{3}+\ldots\right)
x=0 é ponto singular irregular e a solução é dada
por
y(x)=c_{1} x^{\frac{2}{3}}\left(1+\frac{1}{2} x+\frac{5}{28} x^{2}+\frac{1}{21} x^{3}+\cdots\right)+c_{2} x^{\frac{1}{3}}\left(1+\frac{1}{2} x+\frac{1}{5} x^{2}+\frac{7}{12} x^{3}+\cdots\right)
x=0 é ponto singular irregular e a solução é dada
por
y(x)=c_{1} x^{\frac{2}{3}}\left(1-\frac{1}{2} x-\frac{5}{28} x^{2}-\frac{1}{21} x^{3}-\cdots\right)+c_{2} x^{\frac{1}{3}}\left(1-\frac{1}{2} x-\frac{1}{5} x^{2}-\frac{7}{12} x^{3}-\cdots\right)
x=0 é ponto singular regular e a solução é dada
y(x)=c_{1} x^{\frac{2}{3}}\left(1+\frac{1}{2} x+\frac{5}{28} x^{2}+\frac{1}{21} x^{3}+\cdots\right)+c_{2} x^{\frac{1}{3}}\left(1+\frac{1}{2} x+\frac{1}{5} x^{2}+\frac{7}{12} x^{3}+\cdots\right)
x=0 é ponto singular regular e a solução é dada
y(x)=c_{1} x^{\frac{2}{3}}\left(1-\frac{1}{2} x+\frac{5}{28} x^{2}-\frac{1}{21} x^{3}+\cdots\right)+c_{2} x^{\frac{1}{3}}\left(1-\frac{1}{2} x+\frac{1}{5} x^{2}-\frac{7}{12} x^{3}+\cdots\right)

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y'' + y' + \frac{2}{9x^2}\,y = 0
e pede classificação do ponto x=0 e a forma da solução em séries. O conteúdo é método de Frobenius para pontos singulares regulares.

Passo 2

Verificamos a singularidade em x=0. Escrevendo
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0,
temos p(x)=1 analítico em x=0 e q(x)=2/(9x^2) com x^2q(x)=2/9 analítico. Portanto x=0 é ponto singular regular.

Passo 3

Para Frobenius y=x^r\sum_{n=0}^\infty a_nx^n, o indicial é
r(r-1)+\underbrace{\bigl(\lim_{x\to0}x\,p(x)\bigr)}_{0}\,r+\underbrace{\bigl(\lim_{x\to0}x^2q(x)\bigr)}_{2/9}=0
ou seja
r^2-r+\tfrac{2}{9}=0\;\Longrightarrow\;r=\frac{2}{3},\;\frac{1}{3}.

Passo 4

Usamos a recorrência
\bigl[(n+r)(n+r-1)+\tfrac{2}{9}\bigr]a_n+(n+r-1)a_{n-1}=0\,,\quad a_0=1.
Para r=\tfrac{2}{3} obtém-se
a_1=-\tfrac12,\quad a_2=\tfrac{5}{28},\quad a_3=-\tfrac1{21},\;\dots
Logo
y_1(x)=x^{2/3}\Bigl(1-\tfrac12x+\tfrac{5}{28}x^2-\tfrac1{21}x^3+\cdots\Bigr).

Passo 5

Para r=\tfrac{1}{3} temos
a_1=-\tfrac12,\quad a_2=\tfrac{1}{5},\quad a_3=-\tfrac{7}{120},\;\dots
Logo
y_2(x)=x^{1/3}\Bigl(1-\tfrac12x+\tfrac{1}{5}x^2-\tfrac{7}{120}x^3+\cdots\Bigr).

Passo 6

Comparando com as alternativas, vemos que x=0 é ponto singular regular e as séries têm sinais alternados iniciando com -\tfrac12x. Isso coincide com a quinta alternativa (a única com ponto regular e sinais “–,+,–,\dots”).

Resposta

x=0 é ponto singular regular e a solução é dada
y(x)=c_{1}\,x^{\frac{2}{3}}\Bigl(1-\tfrac12x+\tfrac{5}{28}x^{2}-\tfrac1{21}x^{3}+\cdots\Bigr) + c_{2}\,x^{\frac{1}{3}}\Bigl(1-\tfrac12x+\tfrac{1}{5}x^{2}-\tfrac{7}{12}x^{3}+\cdots\Bigr).

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