Resolva a EDO dada por y^{\prime \prime}+y^{\prime}+\frac{2}{9 x^{2}} y=0
e assinale a alternativa CORRETA:
x=0 é ponto singular irregular e a solução é dada y(x)=c_{1} x^{\frac{2}{3}}\left(1-\frac{1}{2} x+\frac{5}{28} x^{2}-\frac{1}{21} x^{3}+\ldots\right)+c_{2} x^{\frac{1}{3}}\left(1-\frac{1}{2} x+\frac{1}{5} x^{2}-\frac{7}{12} x^{3}+\ldots\right) x=0 é ponto singular irregular e a solução é dada
por y(x)=c_{1} x^{\frac{2}{3}}\left(1+\frac{1}{2} x+\frac{5}{28} x^{2}+\frac{1}{21} x^{3}+\cdots\right)+c_{2} x^{\frac{1}{3}}\left(1+\frac{1}{2} x+\frac{1}{5} x^{2}+\frac{7}{12} x^{3}+\cdots\right) x=0 é ponto singular irregular e a solução é dada
por y(x)=c_{1} x^{\frac{2}{3}}\left(1-\frac{1}{2} x-\frac{5}{28} x^{2}-\frac{1}{21} x^{3}-\cdots\right)+c_{2} x^{\frac{1}{3}}\left(1-\frac{1}{2} x-\frac{1}{5} x^{2}-\frac{7}{12} x^{3}-\cdots\right) x=0 é ponto singular regular e a solução é dada y(x)=c_{1} x^{\frac{2}{3}}\left(1+\frac{1}{2} x+\frac{5}{28} x^{2}+\frac{1}{21} x^{3}+\cdots\right)+c_{2} x^{\frac{1}{3}}\left(1+\frac{1}{2} x+\frac{1}{5} x^{2}+\frac{7}{12} x^{3}+\cdots\right) x=0 é ponto singular regular e a solução é dada y(x)=c_{1} x^{\frac{2}{3}}\left(1-\frac{1}{2} x+\frac{5}{28} x^{2}-\frac{1}{21} x^{3}+\cdots\right)+c_{2} x^{\frac{1}{3}}\left(1-\frac{1}{2} x+\frac{1}{5} x^{2}-\frac{7}{12} x^{3}+\cdots\right)
Passo 1
O enunciado dá a EDO
y'' + y' + \frac{2}{9x^2}\,y = 0
e pede classificação do ponto x=0 e a forma da solução em séries. O conteúdo é método de Frobenius para pontos singulares regulares.
Passo 2
Verificamos a singularidade em x=0. Escrevendo
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0,
temos p(x)=1 analítico em x=0 e q(x)=2/(9x^2) com x^2q(x)=2/9 analítico. Portanto x=0 é ponto singular regular.
Passo 3
Para Frobenius y=x^r\sum_{n=0}^\infty a_nx^n, o indicial é
Comparando com as alternativas, vemos que x=0 é ponto singular regular e as séries têm sinais alternados iniciando com -\tfrac12x. Isso coincide com a quinta alternativa (a única com ponto regular e sinais “–,+,–,\dots”).