Questão 1) Um fazendeiro fez uma avaliação grosseira da produção X_{i}, em quilos, de cada um de seus \mathrm{N}=200 pessegueiros. A estimativa do peso total foi 5800 quilos. Tomou-se uma amostra aleatória simples de 10 pessegueiros, colheram-se os pêssegos e pesou-se a produção Y_{i}. Os resultados estão na tabela abaixo.
Árvore: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X i: 30 24 26 30 34 24 22 29 38 29
Y i: 30 21 25 29 34 22 19 28 35 26
Sumarização: \operatorname{sum}(x)=286 ; \operatorname{sum}\left(x^{\wedge} 2\right)=8394 ; \operatorname{sum}(y)=269 ; \operatorname{sum}\left(y^{\wedge} 2\right)=7493 ; \operatorname{sum}\left(x^{*} y\right)=7922
(a) Com base na saída computacional do R apresentada abaixo, qual a estimação mais apropriada para estimar a produção total de pêssegos (em Kg)? Justifique.
> summary(lm(y~x))
Coefficients:
    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -3.59422 2.53774 -1.416 0.194
x 1.06623 0.08759 12.173 1.92e-06

Residual standard error: 1.283 on 8 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9488, Adjusted R-squared: 0.9424
F-statistic: 148.2 on 1 and 8 DF, p-value: 1.922e-06
(b) Construa um intervalo com 95 \% de confiança para o parâmetro de interesse.

Passo 1

O enunciado nos dá uma população de N=200 pessegueiros, para os quais o fazendeiro estimou grosseiramente o peso total em X_{\rm pop}=5800 kg de fruto. Tomou‐se amostra aleatória simples sem reposição de n=10 árvores, medindo em cada uma o par (X_i,Y_i). Queremos estimar o total verdadeiro de Y (produção total de pêssegos) usando o valor conhecido de X_{\rm pop} como variável auxiliar. A saída do R para o modelo de regressão livre
\widehat Y_i = \hat\alpha + \hat\beta\,X_i
é
\hat\alpha=-3{,}59422\quad(p\text{-valor}=0{,}194),\qquad \hat\beta=1{,}06623\quad(p\text{-valor}=1{,}92\times10^{-6}).
Como o intercepto não é significativo ao nível de 5%, podemos assumir o modelo de proporcionalidade Y_i\approx r\,X_i, i.e.\ usar o estimador de razão, que geralmente é mais eficiente quando o intercepto é desprezível.

Passo 2

Calculemos a razão amostral
\bar X=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}X_i=\frac{286}{10}=28{,}6, \qquad \bar Y=\frac{269}{10}=26{,}9, \qquad r=\frac{\bar Y}{\bar X}=\frac{26{,}9}{28{,}6}\approx0{,}94056.

Passo 3

O estimador de razão para o total de Y é
\hat T_{R} = X_{\rm pop}\,\hat r =5800\times0{,}94056 \approx5455{,}25\text{ kg}.

Passo 4

Para construir o IC de 95%, precisamos da variância de \hat T_{R}. Primeiro calculamos os resíduos da razão
e_i = Y_i - r\,X_i,
e a soma dos quadrados dos resíduos
\sum_{i=1}^{10}e_i^2 \approx16{,}543,
logo o estimador do erro quadrático médio da razão é
s_{e}^2 =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}e_i^2 =\frac{16{,}543}{9}\approx1{,}8381.

Passo 5

Sob amostragem simples sem reposição, a variância aproximada de \hat r é
\Var(\hat r) \approx\Bigl(1-\frac{n}{N}\Bigr)\frac{s_e^2}{n\,\bar X^{2}} =\Bigl(1-\frac{10}{200}\Bigr)\frac{1{,}8381}{10\,(28{,}6)^2} \approx0{,}0002134.
Então
\Var(\hat T_{R}) = X_{\rm pop}^2\,\Var(\hat r) =5800^2\times0{,}0002134 \approx7186{,}1,
e o erro‐padrão
\mathrm{se}(\hat T_{R}) =\sqrt{7186{,}1} \approx84{,}78\text{ kg}.

Passo 6

Para o intervalo de confiança de 95\% usamos a distribuição t com n-1=9 graus de liberdade; o quantil é
t_{9,\,0{,}975}\approx2{,}262.
Assim o IC de 95% para o total é
\hat T_{R}\pm t_{9,\,0{,}975}\,\mathrm{se}(\hat T_{R}) =5455{,}25\pm2{,}262\times84{,}78 \approx5455{,}25\pm191{,}8.

Resposta

Estimador escolhido: estimador de razão, pois o intercepto da regressão não é significativo.
Ponto‐estimativa do total:
\hat T_{R}\approx5455{,}3\text{ kg}.
Intervalo de confiança de 95\% para o total:
[\,5263{,}5\,,\;5647{,}1\,]\text{ kg}.

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