Questão 4:

Considere as seguintes transformadas de Laplace:
\begin{aligned} & F(s)=\frac{1}{s+3} \\\ & G(s)=\frac{1}{s^{5}} \\\ & H(s)=\frac{4}{s-2}-\frac{3 s}{s^{2}+16}+\frac{5}{s^{2}+4} \end{aligned}
Calcule a transformada inversa de cada uma destas funções para encontrar f(x), g(x) e h(x).

Passo 1

O enunciado fornece três funções no domínio de Laplace e pede suas transformadas inversas, isto é, encontrar f(x), g(x) e h(x) tais que
\mathcal{L}\{f(x)\}=F(s),\quad \mathcal{L}\{g(x)\}=G(s),\quad \mathcal{L}\{h(x)\}=H(s).
Vamos usar propriedades básicas da transformada de Laplace: linearidade, além das fórmulas
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s+a}\Bigr\}=e^{-a x},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s^n}\Bigr\}=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!},
e as correspondências para cosseno e seno.

Passo 2

Para F(s)=\frac{1}{s+3}, aplicamos diretamente
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s+3}\Bigr\} =e^{-3x}.
Logo,
f(x)=e^{-3x}.

Passo 3

Para G(s)=\frac{1}{s^{5}}, usamos
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s^{n}}\Bigr\}=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \quad\text{com }n=5,
o que dá
g(x)=\frac{x^{4}}{4!}=\frac{x^{4}}{24}.

Passo 4

Para
H(s)=\frac{4}{s-2}-\frac{3s}{s^{2}+16}+\frac{5}{s^{2}+4},
separamos em três termos.
  1. \frac{4}{s-2} inverte para 4e^{2x}.
  2. -\frac{3s}{s^{2}+16}: como \mathcal{L}\{\cos(4x)\}=\frac{s}{s^{2}+16}, inverte para -3\cos(4x).
  3. \frac{5}{s^{2}+4}: como \mathcal{L}\{\sin(2x)\}=\frac{2}{s^{2}+4}, inverte para
    \displaystyle \frac{5}{2}\sin(2x).
Somando,
h(x)=4e^{2x}-3\cos(4x)+\frac{5}{2}\sin(2x).

Resposta

f(x)=e^{-3x} g(x)=\dfrac{x^{4}}{24} h(x)=4e^{2x}-3\cos(4x)+\dfrac{5}{2}\sin(2x)

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