Questão 2. a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Defina o que é dizer que a equação
N(x, y) y^{\prime}(x)+M(x, y)=0
é uma EDO de exata.
b) (1 pt) Determine a solução geral para \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2} e^{x^{3}}}{y^{2}+1}.
c) (1,5 pt) Considere a seguinte equação:
\left[y^{2} \operatorname{sen}(x)+e^{x} y^{3}+2 x\right] d x+\left[-2 y \cos (x)+3 y^{2} e^{x}\right] d y=0 .
Mostre que esta equação é uma EDO exata e determine a família de solução para tal EDO.

Passo 1

O enunciado tem três partes: (a) uma definição teórica de EDO exata, (b) a resolução de uma EDO separável \frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}e^{x^{3}}}{y^{2}+1} e (c) a verificação de exatidão e solução de
\bigl[y^{2}\sin(x)+e^{x}y^{3}+2x\bigr]\,dx+\bigl[-2y\cos(x)+3y^{2}e^{x}\bigr]\,dy=0.
Para isso, vamos usar conceitos de diferencial total, separação de variáveis e condição de exatidão \partial M/\partial y=\partial N/\partial x.

Passo 2

(a) Dizemos que
N(x,y)\,y'(x)+M(x,y)=0
é uma EDO exata se existir uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}(x,y)=M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \psi}{\partial y}(x,y)=N(x,y).
Em termos da forma diferencial M\,dx+N\,dy=0, a condição equivalente é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 3

(b) A EDO é separável:
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}e^{x^{3}}}{y^{2}+1} \;\Longrightarrow\; (y^{2}+1)\,dy=x^{2}e^{x^{3}}\,dx.
Integramos cada lado:
\int(y^{2}+1)\,dy =\int x^{2}e^{x^{3}}\,dx.
No lado esquerdo
\int(y^{2}+1)\,dy =\frac{y^{3}}{3}+y + C_{1},
e, no lado direito, fazendo u=x^{3},
\int x^{2}e^{x^{3}}\,dx =\int \frac{1}{3}e^{u}\,du =\frac{1}{3}e^{x^{3}} + C_{2}.
Reunindo constantes C=C_{2}-C_{1} e multiplicando por 3:
y^{3}+3y=e^{x^{3}}+C.

Passo 4

(c1) Identificamos
M(x,y)=y^{2}\sin(x)+e^{x}y^{3}+2x, \quad N(x,y)=-2y\cos(x)+3y^{2}e^{x}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =2y\sin(x)+3y^{2}e^{x}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =2y\sin(x)+3y^{2}e^{x},
portanto \partial M/\partial y=\partial N/\partial x e a EDO é exata.

Passo 5

(c2) Buscamos \psi(x,y) tal que \psi_{x}=M. Integramos em x:
\psi(x,y) =\int\bigl(y^{2}\sin(x)+e^{x}y^{3}+2x\bigr)\,dx =-y^{2}\cos(x)+e^{x}y^{3}+x^{2}+h(y).
Depois exigimos \psi_{y}=N:
\psi_{y} =-2y\cos(x)+3y^{2}e^{x}+h'(y) \equiv -2y\cos(x)+3y^{2}e^{x},
logo h'(y)=0 e h é constante. A solução implícita é
\psi(x,y) =-y^{2}\cos(x)+e^{x}y^{3}+x^{2}=C.

Resposta

(a) A EDO é exata se existir \psi(x,y) com \psi_{x}=M e \psi_{y}=N, ou seja, se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x.
(b) y^{3}+3y=e^{x^{3}}+C.
(c) A equação é exata e sua família de soluções está dada por
x^{2}-y^{2}\cos(x)+e^{x}y^{3}=C.

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