Questão 2. a) (
) Defina o que é dizer que a equação
é uma EDO de exata.
b) (1 pt) Determine a solução geral para
.
c) (1,5 pt) Considere a seguinte equação:
Mostre que esta equação é uma EDO exata e determine a família de solução para tal EDO.
b) (1 pt) Determine a solução geral para
c) (1,5 pt) Considere a seguinte equação:
Passo 1
O enunciado tem três partes: (a) uma definição teórica de EDO exata, (b) a resolução de uma EDO separável
e (c) a verificação de exatidão e solução de
Para isso, vamos usar conceitos de diferencial total, separação de variáveis e condição de exatidão
.
Passo 2
(a) Dizemos que
é uma EDO exata se existir uma função potencial
tal que
Em termos da forma diferencial
, a condição equivalente é
Passo 3
(b) A EDO é separável:
Integramos cada lado:
No lado esquerdo
e, no lado direito, fazendo
,
Reunindo constantes
e multiplicando por 3:
Passo 4
(c1) Identificamos
Calculamos
portanto
e a EDO é exata.
Passo 5
(c2) Buscamos
tal que
. Integramos em
:
Depois exigimos
:
logo
e
é constante. A solução implícita é
Resposta
(a) A EDO é exata se existir
com
e
, ou seja, se
.
(b) .
(c) A equação é exata e sua família de soluções está dada por
(b)
(c) A equação é exata e sua família de soluções está dada por