3a Questão: Mostre que quando a temperatura do liquido de um barômetro (isto é, um instrumento utilizado para se medir a pressão) varia de \Delta T, e a pressão é constante, a altura h varia de \Delta h=\beta h \Delta T, onde \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica do liquido. Despreze a dilatação do tubo de vidro. (Sugestão: este problema é muito parecido com um problema que foi resolvido em sala de aula, mas, com uma simplificaçāo adicional: nele, o vidro no entorno nāo varia seu volume. Assim, quando a temperatura muda, muda apenas a altura da coluna do liquido no interior deste barômetro. E isto pode ser modelado de duas formas: geométrica e termicamente. Isto é: se a área de seção reta nāo muda, porque o vidro nāo se expande, o volume só pode variar se h variar - e isto é geometria. Por outro lado, o volume como um todo do liquido que preenche o bulbo varia quando muda a temperatura - e isto é um efeito térmico. Modele ambos com as equaçōes que vocês conhecem e resolva o problema).

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, quando a temperatura do líquido de um barômetro varia de \Delta T e a pressão externa é constante, a altura da coluna do líquido, h, varia de modo que
\Delta h = \beta h \Delta T,
onde \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica do líquido.
Informações dadas e hipóteses explícitas: \Delta T (variação de temperatura), pressão constante, coeficiente volumétrico \beta, despreza-se a dilatação do tubo de vidro (logo a área de seção reta do tubo é constante). A incógnita é \Delta h, a variação da altura da coluna do líquido.

Passo 2

Entendendo o conceito físico que vamos usar (dilatação volumétrica): para um líquido, quando a temperatura muda pouco, a variação do volume total V pode ser aproximada pela relação linear
V' = V\,(1 + \beta \,\Delta T),
onde:
  • V é o volume inicial do líquido,
  • V' é o volume depois da variação de temperatura \Delta T,
  • \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica (unidades: \text{K}^{-1} ou ^\circ\text{C}^{-1}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (pode ser positiva ou negativa).
    Essa fórmula é a forma linearizada da dilatação volumétrica válida para variações pequenas de temperatura; ela vem da definição de \beta como \beta = \frac{1}{V}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}T} e integrando/linearizando para pequenos \Delta T.

Passo 3

Modelagem geométrica do volume do líquido dentro do tubo: como o vidro não se expande, a área de seção reta do tubo, que chamaremos de A, é constante. O volume do líquido que ocupa a coluna de altura h no tubo é, pela geometria de um prisma circular (ou qualquer seção constante),
V = A\,h.
Após um aumento da temperatura, a altura passa a ser h + \Delta h e o volume geométrico correspondente à coluna passa a ser
V' = A\,(h + \Delta h).
Aqui explicito que todas as quantidades geométricas A e h estão em unidades compatíveis (por ex. A em \text{m}^2, h em \text{m}).

Passo 4

Aplicando a condição térmica de dilatação volumétrica ao mesmo líquido: o volume novo V' também é dado pela fórmula térmica da dilatação,
V' = V\,(1 + \beta\,\Delta T).
Substituindo a expressão geométrica de V (do Passo 3) nessa fórmula térmica, obtemos
V' = A\,h\,(1 + \beta\,\Delta T).

Passo 5

Agora igualamos as duas expressões para V': a expressão geométrica A(h+\Delta h) e a expressão térmica A h (1+\beta\Delta T). Assim,
A\,(h + \Delta h) = A\,h\,(1 + \beta\,\Delta T).
Essa igualdade expressa o fato de que o novo volume do líquido é ao mesmo tempo o volume geométrico da coluna com nova altura e o volume previsto pela dilatação térmica do líquido.

Passo 6

Simplificação algébrica para encontrar \Delta h: como A é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por A, obtendo
h + \Delta h = h\,(1 + \beta\,\Delta T).
Subtraindo h dos dois lados,
\Delta h = h\,(1 + \beta\,\Delta T) - h.
Fazendo as contas no lado direito:
\Delta h = h + \beta\,h\,\Delta T - h = \beta\,h\,\Delta T.
Pronto — chegamos à expressão desejada. Note que usamos a aproximação linear da dilatação volumétrica (válida para pequenas \Delta T); não precisamos de termos quadráticos porque o enunciado pede a relação linear.

Passo 7

Interpretação final e observações práticas (rápidas e úteis para a prova): a variação relativa da altura da coluna é igual à variação relativa do volume do líquido, porque a área A não muda. Ou seja, \dfrac{\Delta h}{h}=\beta\,\Delta T. Isso é intuitivo: quando o líquido expande volumetricamente numa seção fixa, o único jeito de aumentar volume é aumentar a altura. Lembre-se de mencionar na prova que desprezamos a dilatação do vidro; se o vidro expandisse, A mudaria e o resultado teria um termo adicional relacionado à dilatação linear do vidro.

Resposta

\Delta h = \beta\,h\,\Delta T

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