3a Questão: Mostre que quando a temperatura do liquido de um barômetro (isto é, um instrumento utilizado para se medir a pressão) varia de
, e a pressão é constante, a altura
varia de
, onde
é o coeficiente de dilatação volumétrica do liquido. Despreze a dilatação do tubo de vidro. (Sugestão: este problema é muito parecido com um problema que foi resolvido em sala de aula, mas, com uma simplificaçāo adicional: nele, o vidro no entorno nāo varia seu volume. Assim, quando a temperatura muda, muda apenas a altura da coluna do liquido no interior deste barômetro. E isto pode ser modelado de duas formas: geométrica e termicamente. Isto é: se a área de seção reta nāo muda, porque o vidro nāo se expande, o volume só pode variar se h variar - e isto é geometria. Por outro lado, o volume como um todo do liquido que preenche o bulbo varia quando muda a temperatura - e isto é um efeito térmico. Modele ambos com as equaçōes que vocês conhecem e resolva o problema).
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que, quando a temperatura do líquido de um barômetro varia de
e a pressão externa é constante, a altura da coluna do líquido,
, varia de modo que
onde
é o coeficiente de dilatação volumétrica do líquido.
Informações dadas e hipóteses explícitas: (variação de temperatura), pressão constante, coeficiente volumétrico
, despreza-se a dilatação do tubo de vidro (logo a área de seção reta do tubo é constante). A incógnita é
, a variação da altura da coluna do líquido.
Informações dadas e hipóteses explícitas:
Passo 2
Entendendo o conceito físico que vamos usar (dilatação volumétrica): para um líquido, quando a temperatura muda pouco, a variação do volume total
pode ser aproximada pela relação linear
onde:
-
é o volume inicial do líquido, -
é o volume depois da variação de temperatura , -
é o coeficiente de dilatação volumétrica (unidades: ou ), -
é a variação de temperatura (pode ser positiva ou negativa).
Essa fórmula é a forma linearizada da dilatação volumétrica válida para variações pequenas de temperatura; ela vem da definição decomo e integrando/linearizando para pequenos .
Passo 3
Modelagem geométrica do volume do líquido dentro do tubo: como o vidro não se expande, a área de seção reta do tubo, que chamaremos de
, é constante. O volume do líquido que ocupa a coluna de altura
no tubo é, pela geometria de um prisma circular (ou qualquer seção constante),
Após um aumento da temperatura, a altura passa a ser
e o volume geométrico correspondente à coluna passa a ser
Aqui explicito que todas as quantidades geométricas
e
estão em unidades compatíveis (por ex.
em
,
em
).
Passo 4
Aplicando a condição térmica de dilatação volumétrica ao mesmo líquido: o volume novo
também é dado pela fórmula térmica da dilatação,
Substituindo a expressão geométrica de
(do Passo 3) nessa fórmula térmica, obtemos
Passo 5
Agora igualamos as duas expressões para
: a expressão geométrica
e a expressão térmica
. Assim,
Essa igualdade expressa o fato de que o novo volume do líquido é ao mesmo tempo o volume geométrico da coluna com nova altura e o volume previsto pela dilatação térmica do líquido.
Passo 6
Simplificação algébrica para encontrar
: como
é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por
, obtendo
Subtraindo
dos dois lados,
Fazendo as contas no lado direito:
Pronto — chegamos à expressão desejada. Note que usamos a aproximação linear da dilatação volumétrica (válida para pequenas
); não precisamos de termos quadráticos porque o enunciado pede a relação linear.
Passo 7
Interpretação final e observações práticas (rápidas e úteis para a prova): a variação relativa da altura da coluna é igual à variação relativa do volume do líquido, porque a área
não muda. Ou seja,
. Isso é intuitivo: quando o líquido expande volumetricamente numa seção fixa, o único jeito de aumentar volume é aumentar a altura. Lembre-se de mencionar na prova que desprezamos a dilatação do vidro; se o vidro expandisse,
mudaria e o resultado teria um termo adicional relacionado à dilatação linear do vidro.