Questão 3: Considere
f(x)=l 0 ; -pi<x<0 x ; 0<x<pi f(x+2 pi)=f(x)
(a) Encontre a série de Fourier Sf(x).
(b) Use o Teorema de Fourier em x=pi2 para calcular o valor exato da série alternada
1-13+15-17+cdots

Passo 1

O enunciado pede (a) a expansão em série de Fourier de período
e (b) usar o teorema de Fourier em (x=\tfrac\pi2] para avaliar

Para isso vamos usar as fórmulas dos coeficientes

Passo 2

Calcular a0. Como f(x)=0 em -pi<x<0,
a0 =1piintegral0^pix,dx =1pi,cdotpi^22 =pi2
Logo o termo constante na série é tfraca02=tfracpi4

Passo 3

Calcular an para n>=1. Como f(x)=0 em -pi<x<0,
an =1piintegral0^pixcos(nx),dx
Fazendo integração por partes com u=x, dv=cos(nx),dx obtém-se
integral0^pixcos(nx),dx =l[xsin(nx)nr]0^pi -integral0^pisin(nx)n,dx =(-1)^n-1n^2
Portanto
an =(-1)^n-1pi,n^2,
que anula-se para n par e para n=2k-1 ímpar dá
a2k-1 =-2pi,(2k-1)^2

Passo 4

Calcular bn para n>=1. Similarmente,
bn =1piintegral0^pixsin(nx),dx oversetpartes= -(-1)^nn Longrightarrow bn=(-1)^n+1n

Passo 5

A série de Fourier fica
Sf(x) =pi4 +sumn=1^inftyancos(nx) +sumn=1^inftybnsin(nx)
ou explicitando coeficientes ímpares,
Sf(x) =pi4 -sumk=1^infty2pi(2k-1)^2cosl((2k-1)xr) +sumn=1^infty(-1)^n+1n,sin(nx)

Passo 6

Pelo teorema de Fourier, em x=tfracpi2 a soma converge a
tfracf(pi/2^-)+f(pi/2^+)2=f(pi/2)=tfracpi2. Note que cos((2k-1)tfracpi2)=0 e
sin(ntfracpi2)ne0 só para n ímpar, de modo que
Sfl(tfracpi2r) =pi4 +summ=1^infty12m-1(-1)^m-1 =pi2
Dessa igualdade segue
1-13+15-17+cdots =summ=1^infty(-1)^m-12m-1 =pi4

Resposta

(a) Sf(x) =pi4 -sumk=1^infty2pi(2k-1)^2cosl((2k-1)xr) +sumn=1^infty(-1)^n+1n,sin(nx)
(b) 1-13+15-17+cdots=pi4

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