Questão 3: Considere
(a) Encontre a série de Fourier
Sf(x) .
(b) Use o Teorema de Fourier em
x=pi2 para calcular o valor exato da série alternada
1-13+15-17+cdots
(b) Use o Teorema de Fourier em
Passo 1
O enunciado pede (a) a expansão em série de Fourier de período
e (b) usar o teorema de Fourier em (x=\tfrac\pi2] para avaliar
Para isso vamos usar as fórmulas dos coeficientes
Para isso vamos usar as fórmulas dos coeficientes
Passo 2
Calcular
a0 . Como
f(x)=0 em
-pi<x<0 ,
Logo o termo constante na série é
tfraca02=tfracpi4
Passo 3
Calcular
an para
n>=1 . Como
f(x)=0 em
-pi<x<0 ,
Fazendo integração por partes com
u=x ,
dv=cos(nx),dx obtém-se
Portanto
que anula-se para
n par e para
n=2k-1 ímpar dá
Passo 4
Calcular
bn para
n>=1 . Similarmente,
Passo 5
A série de Fourier fica
ou explicitando coeficientes ímpares,
Passo 6
Pelo teorema de Fourier, em
x=tfracpi2 a soma converge a
tfracf(pi/2^-)+f(pi/2^+)2=f(pi/2)=tfracpi2 . Note que
cos((2k-1)tfracpi2)=0 e
sin(ntfracpi2)ne0 só para
n ímpar, de modo que
Dessa igualdade segue
Resposta
(a)
Sf(x) =pi4 -sumk=1^infty2pi(2k-1)^2cosl((2k-1)xr) +sumn=1^infty(-1)^n+1n,sin(nx)
(b)
1-13+15-17+cdots=pi4