( 3,0 pt ) Ache o limite e, quando for o caso, determine as assíntotas da função:
lim x 1^- x-1raiz2 x-x^2-1

Passo 1

O enunciado pede
limxto1^-x-1raiz2x-x^2-1
e, se esse limite for infinito, teremos assíntota vertical em x=1. Note que ao substituir x=1 dá forma indeterminada tfrac00.

Passo 2

Racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por raiz2x-x^2+1:
x-1raiz2x-x^2-1;times; raiz2x-x^2+1raiz2x-x^2+1 =(x-1)l(raiz2x-x^2+1r),2x-x^2-1,

Passo 3

Repare que
2x - x^2 - 1 = -(x^2 - 2x + 1) = -(x-1)^2
Logo a expressão fica
(x-1)l(raiz2x-x^2+1r)-(x-1)^2 =-raiz2x-x^2+1,x-1,

Passo 4

Quando xto1^-, temos raiz2x-x^2to1, de modo que o numerador tende a -2 e o denominador tende a 0^- (pois x-1<0). Portanto
limxto1^-x-1raiz2x-x^2-1 =limxto1^-l(-raiz2x-x^2+1x-1r) =+infty

Passo 5

Analogamente, para xto1^+ o denominador tende a 0^- e o numerador a 0^+, resultando em -infty. Assim há assíntota vertical em x=1.

Resposta

limxto1^-x-1raiz2x-x^2-1=+infty
Assíntota vertical: x=1.

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