Questão 4. Considere a equação de Bernoulli
A substituição correta para transformá-la em uma equação linear é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede que escolhamos, entre as alternativas (A)–(E), a substituição que transforma essa equação em uma equação linear. As alternativas são:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 2
Vou ensinar a técnica que se usa aqui. Considere uma equação do tipo
onde
é a função desconhecida de
,
e
são funções dadas, e
é um número real. Essa é a forma padrão da chamada equação de Bernoulli. A ideia é eliminar o termo não linear
por uma mudança de variável apropriada.
A substituição padrão é
Explico por que: calcule a derivada de
em relação a
. Usando regra da cadeia,
Agora substituímos
da equação original, que pode ser escrita como
. Assim
Distribuindo e usando
, obtemos
Rearranjando,
Essa é uma equação linear de primeira ordem em
(porque aparece
e
linearmente). Portanto, a substituição
transforma a Bernoulli em linear.
Passo 3
Agora aplico esse método ao nosso caso. Comparando
com a forma geral
, identifiquemos:
Passo 4
Calcule
:
Pela regra da substituição para Bernoulli, devemos tomar
Isso corresponde à alternativa (A).
Passo 5
Só para confirmar que com essa
a equação fica linear: usando a fórmula geral obtida antes,
substituindo
,
e
, temos
Ou seja,
que é claramente uma equação linear de primeira ordem em
. Portanto a substituição
é a correta.
Passo 6
Resumo prático para prova (cola amigável): ao ver
, calcule
e escolha
. Aqui
→
→
.
Resposta
(A)