Questão 4. Considere a equação de Bernoulli
y^{\prime}+\frac{2}{x} y=x^{2} y^{3}
A substituição correta para transformá-la em uma equação linear é:
(A) u=y^{-2}
(B) u=y^{2}
(C) u=x y
(D) u=x^{2} y^{-1}
(E) u=y^{-3}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y^{\prime}+\frac{2}{x}y=x^{2}y^{3}
e pede que escolhamos, entre as alternativas (A)–(E), a substituição que transforma essa equação em uma equação linear. As alternativas são:
(A) u=y^{-2}
(B) u=y^{2}
(C) u=x y
(D) u=x^{2} y^{-1}
(E) u=y^{-3}

Passo 2

Vou ensinar a técnica que se usa aqui. Considere uma equação do tipo
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
onde y é a função desconhecida de x, P(x) e Q(x) são funções dadas, e n é um número real. Essa é a forma padrão da chamada equação de Bernoulli. A ideia é eliminar o termo não linear y^{n} por uma mudança de variável apropriada.
A substituição padrão é
u = y^{\,1-n}.
Explico por que: calcule a derivada de u em relação a x. Usando regra da cadeia,
u'=(1-n)\,y^{-n}\,y'.
Agora substituímos y' da equação original, que pode ser escrita como y' = -P(x)y + Q(x)y^{n}. Assim
u'=(1-n)\,y^{-n}\big(-P(x)y + Q(x)y^{n}\big).
Distribuindo e usando y^{1-n}=u, obtemos
u'=(1-n)\big(-P(x)\,u + Q(x)\big).
Rearranjando,
u' + (1-n)P(x)\,u = (1-n)Q(x).
Essa é uma equação linear de primeira ordem em u(x) (porque aparece u' e u linearmente). Portanto, a substituição u=y^{1-n} transforma a Bernoulli em linear.

Passo 3

Agora aplico esse método ao nosso caso. Comparando
y^{\prime}+\frac{2}{x}y=x^{2}y^{3}
com a forma geral y' + P(x)y = Q(x) y^{n}, identifiquemos:
P(x)=\frac{2}{x},\qquad Q(x)=x^{2},\qquad n=3.

Passo 4

Calcule 1-n:
1-n = 1-3 = -2.
Pela regra da substituição para Bernoulli, devemos tomar
u = y^{\,1-n} = y^{-2}.
Isso corresponde à alternativa (A).

Passo 5

Só para confirmar que com essa u a equação fica linear: usando a fórmula geral obtida antes,
u' + (1-n)P(x)\,u = (1-n)Q(x),
substituindo 1-n=-2, P(x)=\dfrac{2}{x} e Q(x)=x^{2}, temos
u' + (-2)\cdot\frac{2}{x}\,u = (-2)\cdot x^{2}.
Ou seja,
u' - \frac{4}{x}\,u = -2x^{2},
que é claramente uma equação linear de primeira ordem em u. Portanto a substituição u=y^{-2} é a correta.

Passo 6

Resumo prático para prova (cola amigável): ao ver y^{\prime}+P(x)y=Q(x)y^{n}, calcule 1-n e escolha u=y^{1-n}. Aqui n=3 1-n=-2 u=y^{-2}.

Resposta

(A)

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