Questão 3. Uma equação diferencial é exata quando existe uma função potencial
tal que
Dada a equação
a função
associada é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial exata (ou tentativa):
O que nos pedem é encontrar a função potencial
tal que
onde, neste problema, identificamos
O enunciado apresenta cinco alternativas (A) a (E) com funções candidatas para
. A tarefa será: verificar se a forma é exata e, se for, determinar
(até constante) e comparar com as alternativas.
Passo 2
Primeiro passo prático: testar se a equação é exata. A condição de exatidão (num domínio apropriado) é
Calculo as derivadas parciais (aulas rápidas sobre derivadas parciais: deriva-se tratando a outra variável como constante).
Como
, a equação é exata. Bom sinal — podemos encontrar
.
Passo 3
Método para achar
: integrar
em relação a
, tratando
como constante, e acrescentar uma função arbitrária
(porque a constante de integração pode depender de
):
Faço a integração termo a termo (lembrando que
é constante aqui):
Portanto, após integrar:
onde
é função desconhecida que depende só de
.
Passo 4
Agora uso a outra condição:
deve ser igual a
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Comparo com a dada
. Igualando:
Subtraindo
dos dois lados:
Agora integro em relação a
para obter
:
pois
. Aqui
é constante arbitrária (constante de integração).
Passo 5
Reunindo tudo:
Como função potencial podemos tomar (eliminando a constante irrelevante)
Passo 6
Comparação com as alternativas fornecidas:
(A) — difere (tem
em vez de
e sinal de
trocado).
(B) — difere.
(C) — difere.
(D) — difere no primeiro termo (
vs
).
(E) — difere (falta
e termo trigonométrico diferente).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Portanto nenhuma das alternativas (A)–(E) coincide com a função potencial correta
(até constante).
Resposta
Nenhuma das alternativas.