Questão 3. Uma equação diferencial é exata quando existe uma função potencial u(x, y) tal que
\frac{\partial u}{\partial x}=M(x, y), \quad \frac{\partial u}{\partial y}=N(x, y)
Dada a equação
\left(6 x y^{2}+4\right) d x+\left(6 x^{2} y-\sin y\right) d y=0
a função u(x, y) associada é:
(A) u=3 x^{2} y^{2}+4 y-\cos y
(B) u=2 x y^{3}+4 x-\cos y
(C) u=x^{3} y^{2}+4 x-\sin y
(D) u=x^{3} y^{2}+4 x+\cos y
(E) u=3 x^{2} y^{2}-\sin y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial exata (ou tentativa):
\bigl(6x y^{2}+4\bigr)\,dx+\bigl(6x^{2}y-\sin y\bigr)\,dy=0.
O que nos pedem é encontrar a função potencial u(x,y) tal que
\frac{\partial u}{\partial x}=M(x,y),\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=N(x,y),
onde, neste problema, identificamos
M(x,y)=6x y^{2}+4, \qquad N(x,y)=6x^{2}y-\sin y.
O enunciado apresenta cinco alternativas (A) a (E) com funções candidatas para u(x,y). A tarefa será: verificar se a forma é exata e, se for, determinar u(x,y) (até constante) e comparar com as alternativas.

Passo 2

Primeiro passo prático: testar se a equação é exata. A condição de exatidão (num domínio apropriado) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais (aulas rápidas sobre derivadas parciais: deriva-se tratando a outra variável como constante).
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(6x y^{2}+4\bigr) =6x\cdot 2y =12 x y.
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6x^{2}y-\sin y\bigr) =6\cdot 2x\cdot y =12 x y.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=12xy, a equação é exata. Bom sinal — podemos encontrar u(x,y).

Passo 3

Método para achar u(x,y): integrar M(x,y) em relação a x, tratando y como constante, e acrescentar uma função arbitrária g(y) (porque a constante de integração pode depender de y):
u(x,y)=\int M(x,y)\,dx = \int \bigl(6x y^{2}+4\bigr)\,dx.
Faço a integração termo a termo (lembrando que y é constante aqui):
\int 6x y^{2}\,dx = 6 y^{2}\int x\,dx = 6 y^{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=3x^{2}y^{2},
\int 4\,dx = 4x.
Portanto, após integrar:
u(x,y)=3x^{2}y^{2}+4x+g(y),
onde g(y) é função desconhecida que depende só de y.

Passo 4

Agora uso a outra condição: \dfrac{\partial u}{\partial y} deve ser igual a N(x,y). Calculo \dfrac{\partial u}{\partial y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y^{2}+4x+g(y)\bigr) =3x^{2}\cdot 2y + 0 + g'(y) =6x^{2}y+g'(y).
Comparo com a dada N(x,y)=6x^{2}y-\sin y. Igualando:
6x^{2}y+g'(y)=6x^{2}y-\sin y.
Subtraindo 6x^{2}y dos dois lados:
g'(y)=-\sin y.
Agora integro em relação a y para obter g(y):
g(y)=\int -\sin y\,dy = \cos y + C,
pois \dfrac{d}{dy}(\cos y)=-\sin y. Aqui C é constante arbitrária (constante de integração).

Passo 5

Reunindo tudo:
u(x,y)=3x^{2}y^{2}+4x+g(y)=3x^{2}y^{2}+4x+\cos y + C.
Como função potencial podemos tomar (eliminando a constante irrelevante)
u(x,y)=3x^{2}y^{2}+4x+\cos y.

Passo 6

Comparação com as alternativas fornecidas:
(A) 3x^{2}y^{2}+4y-\cos y — difere (tem 4y em vez de 4x e sinal de \cos y trocado).
(B) 2xy^{3}+4x-\cos y — difere.
(C) x^{3}y^{2}+4x-\sin y — difere.
(D) x^{3}y^{2}+4x+\cos y — difere no primeiro termo ( x^{3}y^{2} vs 3x^{2}y^{2}).
(E) 3x^{2}y^{2}-\sin y — difere (falta 4x e termo trigonométrico diferente).
Portanto nenhuma das alternativas (A)–(E) coincide com a função potencial correta u(x,y)=3x^{2}y^{2}+4x+\cos y (até constante).

Resposta

Nenhuma das alternativas.

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