Questão 5. O fator integrante da equação diferencial linear
é dado por:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
e pede qual das alternativas corresponde ao fator integrante
. As informações relevantes são:
-
e são funções conhecidas de (não especificadas numericamente). - A tarefa é identificar a expressão correta para
entre as alternativas (A) a (E).
Passo 2
O que é o fator integrante e por que queremos ele?
Quando temos uma equação linear de primeira ordem na forma
Quando temos uma equação linear de primeira ordem na forma
a ideia do fator integrante
é multiplicar toda a equação por
de modo que o lado esquerdo passe a ser a derivada de um produto simples, isto é, que exista
tal que
Se conseguirmos isso, então podemos integrar ambos os lados facilmente e encontrar
. Essa é a motivação do método; agora vamos achar a condição que
deve satisfazer.
Passo 3
Multiplicando a equação por
obtemos
Queremos que o lado esquerdo seja
. Calculando essa derivada pelo produto:
Comparando com
, vemos que, para todo
, devemos ter
Cancelando
dos dois lados sobra a condição
e, como isso vale para todo
, obtemos a equação para
:
Passo 4
Resolvendo a equação
: escrevemos como derivada logarítmica
Agora integramos ambos os lados em
:
O lado esquerdo é
, então
onde
é constante de integração. Exponenciando,
Passo 5
Observação sobre a constante
: qualquer constante multiplicativa
funciona como fator integrante, porque ao multiplicar a equação por
o lado esquerdo continua sendo a derivada de
e isso só escala ambos os lados da equação antes de integrar. Na prática escolhe-se convenientemente
e, assim, o fator integrante padrão é
Passo 6
Exemplo concreto (passo a passo para ver o método em ação). Considere
Aqui
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é
, então
Integrando ambos os lados:
Logo
que mostra como o fator integrante
permite resolver a equação de forma direta.
Passo 7
Resumo didático rápido para a prova: dada
,
- calcule
, - multiplique a equação por
para obter , - integre e resolva para
. Vai dar certo e é rápido quando souber identificar .
Resposta
(C)