Questão 5. O fator integrante da equação diferencial linear
y^{\prime}+p(x) y=q(x)
é dado por:
(A) \mu(x)=e^{q(x)}
(B) \mu(x)=e^{\int q(x) d x}
(C) \mu(x)=e^{\int p(x) d x}
(D) \mu(x)=p(x)+q(x)
(E) \mu(x)=\frac{1}{p(x)}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y'+p(x)\,y=q(x)
e pede qual das alternativas corresponde ao fator integrante \mu(x). As informações relevantes são:
  • p(x) e q(x) são funções conhecidas de x (não especificadas numericamente).
  • A tarefa é identificar a expressão correta para \mu(x) entre as alternativas (A) a (E).

Passo 2

O que é o fator integrante e por que queremos ele?
Quando temos uma equação linear de primeira ordem na forma
y'+p(x)\,y=q(x),
a ideia do fator integrante \mu(x) é multiplicar toda a equação por \mu(x) de modo que o lado esquerdo passe a ser a derivada de um produto simples, isto é, que exista \mu(x) tal que
\mu(x)\,y'+\mu(x)\,p(x)\,y = \frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big).
Se conseguirmos isso, então podemos integrar ambos os lados facilmente e encontrar y. Essa é a motivação do método; agora vamos achar a condição que \mu(x) deve satisfazer.

Passo 3

Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\mu(x)\,y' + \mu(x)\,p(x)\,y = \mu(x)\,q(x).
Queremos que o lado esquerdo seja \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big). Calculando essa derivada pelo produto:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big) = \mu'(x)\,y + \mu(x)\,y'.
Comparando com \mu(x)\,y' + \mu(x)\,p(x)\,y, vemos que, para todo y, devemos ter
\mu'(x)\,y + \mu(x)\,y' = \mu(x)\,y' + \mu(x)\,p(x)\,y.
Cancelando \mu(x)\,y' dos dois lados sobra a condição
\mu'(x)\,y = \mu(x)\,p(x)\,y,
e, como isso vale para todo y, obtemos a equação para \mu:
\mu'(x)=\mu(x)\,p(x).

Passo 4

Resolvendo a equação \mu'(x)=\mu(x)\,p(x): escrevemos como derivada logarítmica
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=p(x).
Agora integramos ambos os lados em x:
\int \frac{\mu'(x)}{\mu(x)}\,dx = \int p(x)\,dx.
O lado esquerdo é \ln|\mu(x)|, então
\ln|\mu(x)|=\int p(x)\,dx + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
\mu(x)=C\,e^{\int p(x)\,dx}.

Passo 5

Observação sobre a constante C: qualquer constante multiplicativa C\neq 0 funciona como fator integrante, porque ao multiplicar a equação por C\,\mu(x) o lado esquerdo continua sendo a derivada de (C\,\mu) y e isso só escala ambos os lados da equação antes de integrar. Na prática escolhe-se convenientemente C=1 e, assim, o fator integrante padrão é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.

Passo 6

Exemplo concreto (passo a passo para ver o método em ação). Considere
y'+y=e^{x}.
Aqui p(x)=1. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
Multiplicando a equação por \mu(x)=e^{x} obtemos
e^{x}y' + e^{x}y = e^{x}\,e^{x}=e^{2x}.
O lado esquerdo é \dfrac{d}{dx}\big(e^{x}y\big), então
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{2x}.
Integrando ambos os lados:
e^{x}y=\int e^{2x}\,dx=\tfrac{1}{2}e^{2x}+C.
Logo
y=\tfrac{1}{2}e^{x}+C e^{-x},
que mostra como o fator integrante e^{\int p(x)\,dx} permite resolver a equação de forma direta.

Passo 7

Resumo didático rápido para a prova: dada \;y'+p(x)y=q(x)\;,
  1. calcule \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx},
  2. multiplique a equação por \mu(x) para obter \dfrac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu q,
  3. integre e resolva para y. Vai dar certo e é rápido quando souber identificar p(x).

Resposta

(C) \mu(x)=e^{\int p(x)\,d x}

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