Questão 3. Considere a equação diferencial
t d^2 yd t^2+(-1+4 t^2) d yd t+20 t^3 y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Seja y(t) uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty?
lim t +infty t^-2 e^-1+t^2 y(t)=y^prime(1)2+y(1).

Passo 1

A questão trata da EDO de segunda ordem t y'' +(-1+4t^2)y' +20t^3y=0 numa variável t>0, e pede para comparar o comportamento assintótico de uma solução y(t) quando tto+infty com a expressão limtto+infty t^-2e^-1+t^2y(t)=y'(1)2+y(1). Vamos usar o fato de que existe solução tipo y(t)=e^r t^2 para achar as raízes características e depois ver o comportamento assintótico.

Passo 2

Procuramos soluções da forma y(t)=e^r t^2. Então
y'=2rt,e^r t^2, y''=(2r+4r^2t^2)e^r t^2

Passo 3

Substituindo na EDO e dividindo por e^r t^2 obtemos
t(2r+4r^2t^2)+(-1+4t^2)2rt+20t^3=0

Passo 4

Expandindo e cancelando termos em t chegamos a
(4r^2+8r+20)t^3=0(forall t>0), que impõe
4r^2+8r+20=0 Rightarrow r^2+2r+5=0 Rightarrow r=-1pm 2i

Passo 5

Logo as soluções fundamentais reais são
y1(t)=e^-t^2cos(2t^2), y2(t)=e^-t^2sin(2t^2), e a solução geral é y(t)=A y1(t)+B y2(t).

Passo 6

Como cos(2t^2) e sin(2t^2) são limitadas, o fator dominante em y(t) para tto+infty é e^-t^2, que decai muito rápido.

Passo 7

Para a expressão pedida temos
t^-2e^-1+t^2y(t)=e^-1t^-2l(Acos(2t^2)+Bsin(2t^2)r), e como Acos(2t^2)+Bsin(2t^2) é limitado, o produto com t^-2 vai a zero.
Portanto a igualdade limtto+inftyt^-2e^-1+t^2y(t)=tfracy'(1)2+y(1) é falsa e o limite correto é zero.

Resposta

O limite correto é 0, logo a expressão dada é falsa.

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