Questão 3. Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Seja
uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando
?
.
Passo 1
A questão trata da EDO de segunda ordem
numa variável
, e pede para comparar o comportamento assintótico de uma solução
quando
com a expressão
. Vamos usar o fato de que existe solução tipo
para achar as raízes características e depois ver o comportamento assintótico.
Passo 2
Procuramos soluções da forma
. Então
Passo 3
Substituindo na EDO e dividindo por
obtemos
Passo 4
Expandindo e cancelando termos em
chegamos a
Passo 5
Logo as soluções fundamentais reais são
Passo 6
Como
e
são limitadas, o fator dominante em
para
é
, que decai muito rápido.
Passo 7
Para a expressão pedida temos
Portanto a igualdade
Resposta
O limite correto é 0, logo a expressão dada é falsa.