Questão 2. Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Seja
uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando
?
.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de 2ª ordem com coeficientes variáveis
Vamos usar que ela aceita solução do tipo
e depois reduzir a ordem para achar a solução geral, expressar em função de
e
e, por fim, calcular o limite.
Passo 2
Substituímos
para achar
. Calculando
Na EDO obtemos a condição
que dão
(dupla).
Passo 3
Como é raiz dupla, tomamos a 1ª solução
e usamos redução de ordem. O 2º membro da forma reduzida leva a
Logo a solução geral é
Passo 4
Para determinar
e
em função de
e
, avaliamos em
:
Resolvendo o sistema, obtemos
Passo 5
Agora avaliamos o limite usando
:
e, quando
, a parcela com
some e fica
Passo 6
Portanto a alternativa é verdadeira: o limite vale exatamente
Resposta
A alternativa dada é verdadeira, pois