Questão 2. Considere a equação diferencial
t^2 d^2 yd t^2-t(2-4 t^2) d yd t+(4 t^4-2 t^2) y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Seja y(t) uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty?
lim t +infty e^t^2-1 y(t)t^3=y^prime(1)3+2 y(1)3.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de 2ª ordem com coeficientes variáveis
t^2y''-t(2-4t^2)y'+(4t^4-2t^2)y=0, para t>0, e pergunta se vale
limtto+inftye^t^2-1y(t)t^3=y'(1)3+2y(1)3
Vamos usar que ela aceita solução do tipo y=e^rt^2 e depois reduzir a ordem para achar a solução geral, expressar em função de y(1) e y'(1) e, por fim, calcular o limite.

Passo 2

Substituímos y=e^rt^2 para achar r. Calculando
y'=2rt,e^rt^2,
y''=(2r+4r^2t^2)e^rt^2
Na EDO obtemos a condição
4r^2+8r+4=0e-2r-2=0
que dão r=-1 (dupla).

Passo 3

Como é raiz dupla, tomamos a 1ª solução y1=e^-t^2 e usamos redução de ordem. O 2º membro da forma reduzida leva a
y2=y1integral t^2,dt=t^33e^-t^2
Logo a solução geral é
y(t)=e^-t^2l(A+B3t^3r)

Passo 4

Para determinar A e B em função de y(1) e y'(1), avaliamos em t=1:
y(1)=e^-1l(A+B3r),
y'(1)=e^-1l(-2A+B3r)
Resolvendo o sistema, obtemos
B3=e,y'(1)+2y(1)3

Passo 5

Agora avaliamos o limite usando y(t)=e^-t^2(A+tfracB3t^3):
e^t^2-1y(t)t^3=1el(A,tfrace^t^2t^3+B3r)
e, quando tto+infty, a parcela com A some e fica
limtto+inftye^t^2-1y(t)t^3=1ecdotB3=y'(1)+2y(1)3

Passo 6

Portanto a alternativa é verdadeira: o limite vale exatamente
y'(1)3+2y(1)3

Resposta

A alternativa dada é verdadeira, pois
limtto+inftye^t^2-1y(t)t^3=y'(1)3+2y(1)3

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