Questão 3. Considere a equação diferencial
t d^2 yd t^2+(-1+4 t^2) d yd t+20 t^3 y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Seja y(t) uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty?
lim t +infty e^1-t^2 y(t)=y^prime(1)8+3 y(1)4.

Passo 1

Vamos focar no enunciado: temos a equação diferencial de segunda ordem
t,y''(t)+( -1+4t^2),y'(t)+20t^3,y(t)=0,
com t>0, e sabemos que ela admite soluções da forma y(t)=e^r t^2. Nosso objetivo é descobrir o comportamento de y(t) quando tto+infty, em particular o valor de
limtto+inftye^1-t^2y(t)

Passo 2

Procuramos constantes r tais que y(t)=e^r t^2 seja solução. Calculamos:
y'(t)=2rt,e^r t^2,
y''(t)=(2r+4r^2t^2),e^r t^2
Substituindo na EDO e cancelando o fator e^r t^2 obtemos o polinômio em t^3:
4r^2+8r+20=0Longrightarrow r^2+2r+5=0
cuja raízes são r=-1pm2i.

Passo 3

Com isso, a solução geral é combinação linear das duas raízes complexas, que dá, em solução real,
y(t)=e^-t^2l(C1cos(2t^2)+C2sin(2t^2)r),
onde C1,C2 são constantes determinadas por y(1) e y'(1).

Passo 4

Para estudar o limite pedid
  1. Note que cos(2t^2) e sin(2t^2) são funções limitadas por [-1,1].
  2. O fator e^-t^2 faz y(t) decair muito rápido: y(t)=O(e^-t^2) quando tto+infty.
  3. Logo
e^1-t^2y(t)=e^1-t^2cdot O(e^-t^2)=Ol(e^1-2t^2r)to0

Passo 5

Concluímos que
limtto+inftye^1-t^2y(t)=0,
o que contradiz a afirmação de que esse limite seria y'(1)/8+3y(1)/4. Portanto essa alternativa é falsa.

Resposta

O limite é zero, ou seja,
limtto+inftye^1-t^2y(t)=0

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