Questão 3. Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Seja
uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando
?
.
Passo 1
Vamos focar no enunciado: temos a equação diferencial de segunda ordem
com t>0, e sabemos que ela admite soluções da forma
. Nosso objetivo é descobrir o comportamento de
quando
, em particular o valor de
Passo 2
Procuramos constantes
tais que
seja solução. Calculamos:
Substituindo na EDO e cancelando o fator
obtemos o polinômio em
:
cuja raízes são
.
Passo 3
Com isso, a solução geral é combinação linear das duas raízes complexas, que dá, em solução real,
onde
são constantes determinadas por
e
.
Passo 4
Para estudar o limite pedid
- Note que
e são funções limitadas por . - O fator
faz decair muito rápido: quando . - Logo
Passo 5
Concluímos que
o que contradiz a afirmação de que esse limite seria
. Portanto essa alternativa é falsa.
Resposta
O limite é zero, ou seja,