Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
g) integral-e^x^2^e^x cos ^2(t) d t

Passo 1

Na questão temos a função g(x)=integral-e^x^2^e^xcos^2(t),dt. O conteúdo envolve o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia para limites variáveis de integração.

Passo 2

Denotando f(t)=cos^2(t), que é contínua, o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com limites dependentes diz que
g'(x)=f(b(x)),b'(x)-f(a(x)),a'(x),
onde b(x)=e^x e a(x)=-e^x^2.

Passo 3

Calculamos as derivadas dos limites:
  • Para b(x)=e^x, temos b'(x)=e^x.
  • Para a(x)=-e^x^2, usamos a Regra da Cadeia: primeiro d(e^x^2)/dx=2x,e^x^2, então a'(x)=-2x,e^x^2.

Passo 4

Substituindo na fórmula do Teorema:
g'(x)=cos^2(e^x)cdot e^x - cos^2(-e^x^2)cdotl(-2x,e^x^2r)

Passo 5

Observamos que cos^2(-e^x^2)=cos^2(e^x^2) e que o produto de sinais dá positivo, então
g'(x)=e^xcos^2(e^x) + 2x,e^x^2cos^2(e^x^2)

Resposta

g'(x)=e^xcos^2(e^x)+2x,e^x^2cos^2(e^x^2)

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