Questão 3. Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Seja
uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando
?
.
.
Passo 1
A equação diferencial é
para
. Sabemos que existe uma solução do tipo
. Vamos usar esse ansatz para obter o polinômio característico em
e, a partir disso, escrever a solução geral e analisar o comportamento de
quando
.
Passo 2
Suponha
. Então
Passo 3
Substituindo na equação diferencial e fatorando
obtemos
Passo 4
Ao simplificar, cancelam-se os termos em
de primeira ordem, sobrando
Passo 5
Logo o polinômio característico é
cuja raiz é
Passo 6
Isso dá a solução geral real
Passo 7
Para
, temos
e
,
ficam limitados entre
e
. Portanto
Passo 8
Já
é oscilatório e não tende a zero nem a uma constante. Assim, nenhuma das duas alternativas apresentadas coincide com o comportamento verdadeiro de
Resposta
Nenhuma das alternativas apresentadas é verdadeira.