Questão 3. Considere a equação diferencial
t d^2 yd t^2+(-1+4 t^2) d yd t+20 t^3 y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Seja y(t) uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty?
lim t +infty e^t^2 y(t)=0.
lim t +infty y(t)=y^prime(1)8+3 y(1)4.

Passo 1

A equação diferencial é t y''+( -1+4t^2)y'+20t^3y=0 para t>0. Sabemos que existe uma solução do tipo y(t)=e^r t^2. Vamos usar esse ansatz para obter o polinômio característico em r e, a partir disso, escrever a solução geral e analisar o comportamento de y(t) quando tto+infty.

Passo 2

Suponha y(t)=e^r t^2. Então
y'=2r t e^r t^2,
y''=(2r+4r^2t^2)e^r t^2

Passo 3

Substituindo na equação diferencial e fatorando e^r t^2 obtemos
t(2r+4r^2t^2)+(-1+4t^2)(2r t)+20t^3=0

Passo 4

Ao simplificar, cancelam-se os termos em t de primeira ordem, sobrando
t^3l(4r^2+8r+20r)=0

Passo 5

Logo o polinômio característico é
4r^2+8r+20=0
cuja raiz é
r=-1pm2i

Passo 6

Isso dá a solução geral real
y(t)=e^-t^2l(C1,cos(2t^2)+C2,sin(2t^2)r)

Passo 7

Para tto+infty, temos e^-t^2to0 e cos(2t^2), sin(2t^2) ficam limitados entre -1 e 1. Portanto
limtto+inftyy(t)=0

Passo 8

e^t^2y(t)=C1cos(2t^2)+C2sin(2t^2)
é oscilatório e não tende a zero nem a uma constante. Assim, nenhuma das duas alternativas apresentadas coincide com o comportamento verdadeiro de y(t).

Resposta

Nenhuma das alternativas apresentadas é verdadeira.

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