Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
k) integral0^pi / 4 sec ^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de sec^2(x) no intervalo de 0 a pi/4. O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo aplicado a integrais definidas, e vamos precisar identificar uma primitiva (antiderivada) de sec^2(x) e depois avaliar nos limites.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função sec^2(x) é contínua em [0,pi/4] porque o cosseno nunca zera nesse intervalo. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se F'(x)=f(x), então integrala^b f(x),dx=F(b)-F(a). Sabemos da derivação de funções trigonométricas que ddx[tan(x)]=sec^2(x). Logo, uma primitiva de sec^2(x) é tan(x).

Passo 3

Agora aplicamos a primitiva nos limites: integral0^pi/4sec^2(x),dx=tan(x)|0^pi/4=tanl(pi/4r)-tan(0)=1-0=1

Resposta

1

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