Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem:
o) integral0^1 1t^2+1 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de 1t^2+1 usando o Teorema Fundamental do Cálculo. O conteúdo principal aqui é saber encontrar uma antiderivada (primitiva) de f(t)=1t^2+1.

Passo 2

Para encontrar a primitiva, lembramos da derivada de arctan(t), que é ddtl[arctan(t)r]=11+t^2. Isso mostra que uma antiderivada de 1t^2+1 é F(t)=arctan(t).

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se F é primitiva de f em [a,b], então
integrala^b f(t),dt = F(b)-F(a)
Aplicando com a=0, b=1 e F(t)=arctan(t), temos

Passo 4

Basta avaliar:
integral0^1 1t^2+1,dt = arctan(t) |0^1 = arctan(1) - arctan(0)
Sabendo que arctan(1)=pi4 e arctan(0)=0, concluímos que o valor é pi4.

Resposta

pi4

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