Questão 8. Considere uma equação diferencial da forma
a Supondo que
é uma solução da equação diferencial, faça a mudança de variáveis
afim de obter a equação de Bernoulli
b Utilize esta mudança de variáveis para resolver a equação diferencial
que possui a solução particular
.
Nota: Uma equação diferencial que pode ser expressa da forma
é chamada de equação de Ricatti.
Nota: Uma equação diferencial que pode ser expressa da forma
Passo 1
A questão trata de uma equação de Riccati da forma
. No item (a) precisamos mostrar que, se
é solução, a mudança
transforma em uma equação de Bernoulli. No item (b) aplicaremos isso a
, sabendo que
.
Passo 2
Começamos derivando
. Então
Passo 3
Como
satisfaz
e
satisfaz
,
Passo 4
Desenvolvendo e cancelando termos de
obtemos
isto é
que é a equação de Bernoulli desejada.
Passo 5
Para a equação
, identificamos
Passo 6
Logo a mudança
dá
Passo 7
Isto é uma equação de Bernoulli
. Fazemos a substituição
. Então
Passo 8
e multiplicando
por
resulta
Passo 9
Esta é linear com fator integrante
:
Passo 10
Voltando a
obtemos
Passo 11
Por fim
. Substituindo
vem