Questão 8. Considere uma equação diferencial da forma
d yd x=p(x)+q(x) y+r(x) y^2
a Supondo que y1(x) é uma solução da equação diferencial, faça a mudança de variáveis v=y-y1 afim de obter a equação de Bernoulli
d vd x-[q(x)+2 r(x) y1(x)] v=r(x) v^2
b Utilize esta mudança de variáveis para resolver a equação diferencial
d yd x=e^2 x+(1+2 e^x) y+y^2
que possui a solução particular y1(x)=-e^x.
Nota: Uma equação diferencial que pode ser expressa da forma y^prime=p(x)+q(x) y+r(x) y^2 é chamada de equação de Ricatti.

Passo 1

A questão trata de uma equação de Riccati da forma y'=p(x)+q(x)y+r(x)y^2. No item (a) precisamos mostrar que, se y1(x) é solução, a mudança v=y-y1 transforma em uma equação de Bernoulli. No item (b) aplicaremos isso a y'=e^2x+(1+2e^x)y+y^2, sabendo que y1=-e^x.

Passo 2

Começamos derivando v=y-y1. Então
dvdx=dydx-dy1dx

Passo 3

Como y satisfaz y'=p+q y+r y^2 e y1 satisfaz y1'=p+q y1+r y1^2,
dvdx=(p+q(y1+v)+r(y1+v)^2)-(p+q y1+r y1^2)

Passo 4

Desenvolvendo e cancelando termos de p,qy1,r y1^2 obtemos
dvdx=[q+2r y1]v+r v^2,
isto é
dvdx-[q(x)+2r(x)y1(x)],v=r(x)v^2,
que é a equação de Bernoulli desejada.

Passo 5

Para a equação y'=e^2x+(1+2e^x)y+y^2, identificamos
p(x)=e^2x, q(x)=1+2e^x, r(x)=1, y1=-e^x

Passo 6

Logo a mudança v=y-y1=y+e^x
dvdx-[(1+2e^x)+2(-e^x)]v=v^2Longrightarrowdvdx-v=v^2

Passo 7

Isto é uma equação de Bernoulli dv/dx+(-1)v=1cdot v^2. Fazemos a substituição u=v^1-2=v^-1. Então
dudx=-v^-2dvdx,

Passo 8

e multiplicando dv/dx -v=v^2 por -v^-2 resulta
dudx+u=-1

Passo 9

Esta é linear com fator integrante e^integral1,dx=e^x:
ddx(u e^x)=-e^xLongrightarrow u e^x=-e^x+CLongrightarrow u=C e^-x-1

Passo 10

Voltando a v=1/u obtemos
v(x)=1C e^-x-1

Passo 11

Por fim y=v+y1=v-e^x. Substituindo v vem
y(x)=1C e^-x-1-e^x

Resposta

y(x)=dfrac1C e^-x-1-e^x, onde C é constante de integração.

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