Questão 3. Resolva os problemas de valor inicial abaixo e indique o intervalo de validade da solução encontrada:
\left{
\right.
\left{
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial onde precisamos resolver a equação diferencial:
com a condição inicial $ y(1) = 1 $. A matéria aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e fatores integrantes para resolver equações lineares. Vamos precisar aplicar essas técnicas para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para deixá-la no formato padrão de equações lineares:
Aqui, $ P(x) = \frac{2}{x} $ e $ Q(x) = \frac{1}{x^3} $, com $ n = 3 $. Mas, como essa equação não é linear devido ao termo $ y^3 $, vamos tentar uma substituição que simplifique.
Passo 3
Vamos usar a substituição $ v = y^{-2} $. Calculando a derivada de $ v $ em relação a $ x $:
Isso nos ajuda a eliminar o termo $ y^3 $ da equação original. Vamos substituir $ y’ $ da equação original na expressão de $ v’ $.
Passo 4
Substituindo $ y’ $ na equação original:
Como $ v = y^{-2} $, temos $ y^3 = v^{-3/2} $. Porém, para simplificar, vamos reorganizar a equação para termos $ v’ $ isolado.
Passo 5
Rearranjando a equação após substituição:
Agora, temos uma equação linear em $ v $, que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 6
O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Multiplicando toda a equação por $ \mu(x) $:
Isso transforma a equação em uma forma que facilita a integração.
Passo 7
A equação multiplicada pelo fator integrante fica:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
Passo 8
Calculando a integral:
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por $ x^4 $:
Passo 9
Lembrando que $ v = y^{-2} $, substituímos de volta:
Resolvendo para $ y $:
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(1) = 1 $ para encontrar a constante $ C $:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Assim, $ C = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Simplificando:
O intervalo de validade da solução é para $ x > 0 $, já que a equação original tem termos com $ \frac{1}{x} $.