Questão 3. Resolva os problemas de valor inicial abaixo e indique o intervalo de validade da solução encontrada:
\left{ ly prime+2x y=y^3x^3 y(1)=1\right.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial onde precisamos resolver a equação diferencial:
y' + 2x y = y^3x^3
com a condição inicial $ y(1) = 1 $. A matéria aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e fatores integrantes para resolver equações lineares. Vamos precisar aplicar essas técnicas para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para deixá-la no formato padrão de equações lineares:
y' + P(x) y = Q(x) y^n
Aqui, $ P(x) = \frac{2}{x} $ e $ Q(x) = \frac{1}{x^3} $, com $ n = 3 $. Mas, como essa equação não é linear devido ao termo $ y^3 $, vamos tentar uma substituição que simplifique.

Passo 3

Vamos usar a substituição $ v = y^{-2} $. Calculando a derivada de $ v $ em relação a $ x $:
v = y^-2
Isso nos ajuda a eliminar o termo $ y^3 $ da equação original. Vamos substituir $ y’ $ da equação original na expressão de $ v’ $.

Passo 4

Substituindo $ y’ $ na equação original:
y'
Como $ v = y^{-2} $, temos $ y^3 = v^{-3/2} $. Porém, para simplificar, vamos reorganizar a equação para termos $ v’ $ isolado.

Passo 5

Rearranjando a equação após substituição:
v' - 4x v = -2x^3
Agora, temos uma equação linear em $ v $, que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 6

O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Multiplicando toda a equação por $ \mu(x) $:
mu(x) = e^integral -4x dx = e^-4 ln x = x^-4
Isso transforma a equação em uma forma que facilita a integração.

Passo 7

A equação multiplicada pelo fator integrante fica:
ddx(x^-4 v) = -2x^7
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
x

Passo 8

Calculando a integral:
integral -2x^7 dx = 26 x^6 = 13 x^6
Então, temos:
x^-4 v = 13 x^6 + C
Multiplicando ambos os lados por $ x^4 $:
x^4

Passo 9

Lembrando que $ v = y^{-2} $, substituímos de volta:
v = y^-2
Resolvendo para $ y $:
y^-2 = 13 x^2 + C x^4

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(1) = 1 $ para encontrar a constante $ C $:
y(1) = 1
Elevando ambos os lados ao quadrado:
C
Assim, $ C = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(x) = ( 13 x^2 + 23 x^4 )^-1/2
Simplificando:
y(x) = ( 1 + 2 x^63 x^2 )^-1/2 = raiz3 x^21 + 2 x^6
O intervalo de validade da solução é para $ x > 0 $, já que a equação original tem termos com $ \frac{1}{x} $.

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