Questão 3. Resolva os problemas de valor inicial abaixo e indique o intervalo de validade da solução encontrada:
\left{ lraizy y prime+raizy^3=1 y(0)=1\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial raizy,y'+raizy^3=1 com y(0)=1. Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, separável, e vamos aplicar separação de variáveis e integração para encontrar y(x).

Passo 2

Primeiro a gente rearranja a equação para isolar y'. Como raizy^3=y^3/2, temos:
raizy,y'=1-y^3/2
Dividindo por raizy (que é não nulo perto da condição inicial), obtemos
y'=y^-1/2-y

Passo 3

Agora fazemos separação de variáveis. Escrevemos
dydt=y^-1/2-y Longrightarrow dy1-y^3/2raizy=dt
Reescrevendo o fator raizy,dy no numerador fica
raizy,dy1-y^3/2=dt

Passo 4

Para integrar, usamos a substituição u=y^3/2. Então
du=32y^1/2dyLongrightarrow y^1/2dy=23du
Logo o integral vira
integralraizy,dy1-y^3/2=integraltfrac23du1-u=23integraldu1-u

Passo 5

Essa integral é
23integraldu1-u=-23ln|1-u|+C
Portanto obtemos a relação implícita
-tfrac23ln|1-y^3/2|=x+C1
Multiplicando por -3/2 e exponenciando, chega-se a
|1-y^3/2|=K e^-3x/2,
onde K>0 é constante.

Passo 6

Retomando sem valor absoluto e definindo sinal em K, temos
1-y^3/2=A e^-3x/2
Então a solução geral é
y(x)=l(1-A e^-3x/2r)^2/3

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1. Isso dá
1=l(1-Ar)^2/3 Longrightarrow (1-A)^2=1 Rightarrow A=0 ou A=2
Mas se A=2 perde-se a unicidade garantida pelo Teorema de Picard–Lindelöf (pois f(y)=y^-1/2-y é Lipschitz perto de y=1). Logo a única solução que satisfaz o PVI é a caso A=0.

Passo 8

Com A=0 a solução colapsa para
y(x)=1
identicamente. Esse resultado ainda faz sentido na equação original, pois
raiz1cdot0+raiz1^3=1
Como y(x)=1>0 para todo x, não há singularidades e a solução existe para xin(-infty,infty).

Resposta

y(x)=1, válido para x\in(-\infty,\infty)

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