Questão 3. Resolva os problemas de valor inicial abaixo e indique o intervalo de validade da solução encontrada:
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
com
. Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, separável, e vamos aplicar separação de variáveis e integração para encontrar
.
Passo 2
Primeiro a gente rearranja a equação para isolar
. Como
, temos:
Dividindo por
Passo 3
Agora fazemos separação de variáveis. Escrevemos
Reescrevendo o fator
Passo 4
Para integrar, usamos a substituição
. Então
Logo o integral vira
Passo 5
Essa integral é
Portanto obtemos a relação implícita
Multiplicando por
e exponenciando, chega-se a
onde
Passo 6
Retomando sem valor absoluto e definindo sinal em
, temos
Então a solução geral é
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
. Isso dá
Mas se
Passo 8
Com
a solução colapsa para
identicamente. Esse resultado ainda faz sentido na equação original, pois
Como
para todo
, não há singularidades e a solução existe para
.
Resposta
y(x)=1, válido para x\in(-\infty,\infty)