Questão 1. Considere a equação diferencial
\left(4 x^{3} y+2\right) d x+\left(x^{4}+\cos y\right) d y=0
Assinale a alternativa correta sobre sua exatidão.
(A) A equação é exata porque \frac{\partial M}{\partial y}=4 x^{3} e \frac{\partial N}{\partial x}=4 x^{3}+\cos x.
(B) A equação é não exata, pois depende apenas de y.
(C) A equação é exata somente se y=0.
(D) A equação não pode ser verificada quanto à exatidão.
(E) A equação é exata, pois \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=4 x^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(4 x^{3} y+2\right) d x+\left(x^{4}+\cos y\right) d y=0
Pergunta: qual alternativa (A)–(E) é correta quanto à exatidão desta equação?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • M(x,y)=4x^{3}y+2 (coeficiente de d x).
  • N(x,y)=x^{4}+\cos y (coeficiente de d y).

Passo 2

O que significa a equação ser exata? Vou explicar passo a passo, do jeitinho que a prova gosta. Uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existir uma função potencial \Phi(x,y) tal que
d\Phi = \frac{\partial \Phi}{\partial x}\,dx + \frac{\partial \Phi}{\partial y}\,dy = M\,dx + N\,dy.
Uma forma prática (e usual em provas) para verificar exatidão quando M e N têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo é checar a condição de compatibilidade
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa igualdade vale para todos (x,y) do domínio, a equação é exata.

Passo 3

Vou calcular as derivadas parciais pedidas, explicando cada termo:
  • Como M(x,y)=4x^{3}y+2, ao derivar em relação a y tratamos x como constante. A derivada de 4x^{3}y em relação a y é 4x^{3} (porque 4x^{3} é multiplicador constante) e a derivada de 2 é 0. Logo
\frac{\partial M}{\partial y} = 4x^{3}.
  • Como N(x,y)=x^{4}+\cos y, ao derivar em relação a x tratamos y como constante. A derivada de x^{4} em relação a x é 4x^{3}. A derivada de \cos y em relação a x é 0 porque \cos y não depende de x. Logo
\frac{\partial N}{\partial x} = 4x^{3}.

Passo 4

Comparando:
\frac{\partial M}{\partial y} = 4x^{3} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 4x^{3},
ou seja, as duas derivadas parciais são iguais para todo (x,y). Portanto a equação é exata em todo o domínio considerado (as funções são C^{1} em \mathbb{R}^{2}, que é simplesmente conexo), e a condição de exatidão está satisfeita.

Passo 5

Para fixar: a alternativa (E) afirma que \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=4x^{3} — exatamente o que encontramos, logo (E) é correta. Vou também comentar rapidamente por que as outras opções estão erradas:
  • (A) erra ao afirmar \frac{\partial N}{\partial x}=4x^{3}+\cos x; isso mistura variáveis: a derivada de \cos y em relação a x é 0, não \cos x.
  • (B) é falsa porque a equação depende de x e y, não apenas de y.
  • (C) não faz sentido: a exatidão não depende de y=0 aqui, ela vale para todo y.
  • (D) é falso: a verificação é direta e foi feita acima.

Passo 6

Como bônus rápido (útil na prova): se alguém pedir a função potencial \Phi, integratei M em x:
\Phi(x,y)=\int (4x^{3}y+2)\,dx = yx^{4}+2x+h(y),
diferenciando em y e igualando a N obtém-se h'(y)=\cos y, logo h(y)=\sin y. Assim
\Phi(x,y)=x^{4}y+2x+\sin y + C,
o que confirma a exatidão (checar \Phi_x=M e \Phi_y=N).

Resposta

(E)

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