Questão 1. Considere a equação diferencial
Assinale a alternativa correta sobre sua exatidão.
(A) A equação é exata porque
e
.
(B) A equação é não exata, pois depende apenas de
.
(C) A equação é exata somente se
.
(D) A equação não pode ser verificada quanto à exatidão.
(E) A equação é exata, pois
.
(A) A equação é exata porque
(B) A equação é não exata, pois depende apenas de
(C) A equação é exata somente se
(D) A equação não pode ser verificada quanto à exatidão.
(E) A equação é exata, pois
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Pergunta: qual alternativa (A)–(E) é correta quanto à exatidão desta equação?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
(coeficiente de ). -
(coeficiente de ).
Passo 2
O que significa a equação ser exata? Vou explicar passo a passo, do jeitinho que a prova gosta. Uma equação
é exata se existir uma função potencial
tal que
Uma forma prática (e usual em provas) para verificar exatidão quando
e
têm derivadas parciais contínuas num domínio simplesmente conexo é checar a condição de compatibilidade
Se essa igualdade vale para todos
do domínio, a equação é exata.
Passo 3
Vou calcular as derivadas parciais pedidas, explicando cada termo:
- Como
, ao derivar em relação a tratamos como constante. A derivada de em relação a é (porque é multiplicador constante) e a derivada de é . Logo
- Como
, ao derivar em relação a tratamos como constante. A derivada de em relação a é . A derivada de em relação a é porque não depende de . Logo
Passo 4
Comparando:
ou seja, as duas derivadas parciais são iguais para todo
. Portanto a equação é exata em todo o domínio considerado (as funções são
em
, que é simplesmente conexo), e a condição de exatidão está satisfeita.
Passo 5
Para fixar: a alternativa (E) afirma que
— exatamente o que encontramos, logo (E) é correta. Vou também comentar rapidamente por que as outras opções estão erradas:
- (A) erra ao afirmar
; isso mistura variáveis: a derivada de em relação a é , não . - (B) é falsa porque a equação depende de
e , não apenas de . - (C) não faz sentido: a exatidão não depende de
aqui, ela vale para todo . - (D) é falso: a verificação é direta e foi feita acima.
Passo 6
Como bônus rápido (útil na prova): se alguém pedir a função potencial
, integratei
em
:
diferenciando em
e igualando a
obtém-se
, logo
. Assim
o que confirma a exatidão (checar
e
).
Resposta
(E)